\[\boxed{\mathbf{1176.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[\angle ABC - острый;\]
\[D - лежит\ внутри\ \angle ABC;\]
\[E \in BA;F \in BC.\]
\[Найти:\]
\[\text{E\ }и\ \text{F\ }так,\ чтобы\ периметр\ \]
\[\mathrm{\Delta}DEF\ был\ наименьшим.\]
\[Решение.\]
\[1)\ Построим\ точку\ D_{1},\]
\[симметричную\ точке\ \text{D\ }\]
\[относительно\ луча\ BA,\ и\]
\[точку\ D_{2},\ симетричную\ точке\ \text{D\ }\]
\[относительно\ луча\ \text{BC.}\]
\[2)\ D_{1}D_{2} \cap BA = E;\]
\[D_{1}D_{2} \cap BC = F;\ \]
\[\mathrm{\Delta}DEF - искомый.\]
\[3)\ Докажем.\]
\[По\ неравенству\ треугольника:\ \]
\[D_{1}D_{2} < D_{1}D + DD_{2};но\ \]
\[D_{1}D_{2} = D_{1}E + EF + FD_{2}.\]
\[D_{1}E = ED\ и\ FD_{2} = FD \Longrightarrow \ \]
\[\Longrightarrow D_{1}D_{2} = ED + EF + FD\ \]
\[или\ D_{1}D_{2} = P_{\text{DEF}} - он\ \]
\[наименьший.\]
\[Так\ как\ DE + EF - наименьшая\ \]
\[и\ DF + FE - наименьшая.\]