\[\boxed{\mathbf{1175.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\]
\[a;\ \]
\[\text{M\ }и\ N\ - лежат\ по\ одну\ сторону\ \]
\[от\ прямой\ \text{a.}\]
\[Доказать:\]
\[существует\ единственная\ \]
\[точка\ X \in a\ такая,\ \]
\[что\ MX + XN - имеет\ \]
\[наименьшее\ значение.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Пусть\ N_{1}\ симметрична\ \text{N\ }\]
\[относительно\ прямой\ \text{a.\ }\]
\[Так\ как\ отрезки\ XN\ и\ XN_{1}\ \]
\[симметричны\ относительно\ \]
\[прямой\ a;\]
\[XN = XN_{1}\text{.\ \ }\]
\[Тогда:\ \]
\[MX + XN = MX + XN_{1}.\]
\[2)\ Если\ точка\ \text{X\ }не\ лежит\ на\ \]
\[прямой\ MN_{1} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ MX + XN_{1} > MN_{1}.\]
\[Если\ точка\ \text{X\ }лежит\ на\ прямой\ \]
\[MN_{1}\ \]
\[\left( а\ значит\ и\ на\ отрезке\ MN_{1} \right) \Longrightarrow \ \]
\[MX + XN_{1} = MN_{1}\text{.\ }\]
\[Следовательно:\]
\[сумма\ MX + XN_{1}\ и\ равная\ ей\ \]
\[MX + XN\ принимают\ \]
\[наименьшее\ значение,\ только\ \]
\[если\ точка\ \text{X\ }является\ точкой\ \]
\[пересечения\ \text{a\ }и\ MN_{1}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]