\[\boxed{\mathbf{1169.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD} - квадрат;\]
\[AC,\ BD - диагонали;\]
\[O - пересечение\ диагоналей.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{ABCD\ }\ при\ повороте\ на\ 90{^\circ}\ \]
\[вокруг\ O = ABCD.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ O - точка\ пересечения\ \]
\[диагоналей\ квадрата:\ \]
\[O - центр\ описанной\ \]
\[окружности\ O(O,R).\]
\[2)\ Все\ вершины\ лежат\ на\ \]
\[описанной\ окружности\ и\ \]
\[отображаются\ друг\ на\ друга\ \]
\[при\ определенных\ углах\ \]
\[поворота.\]
\[3)\ Рассмотрим\ поворот\ на\ 90{^\circ}.\]
\[\text{ABCD} - квадрат:\]
\[делит\ описанную\ окружность\ \]
\[на\ четыре\ равных\ дуги.\]
\[Каждая\ дуга\ равна:\]
\[\frac{360{^\circ}}{4} = 90{^\circ}.\]
\[4)\ Вращением\ называется\ \]
\[движение\ точки\ по\ дуге\ \]
\[окружности\ с\ центром\ в\ точке,\ \]
\[вокруг\ которой\ производится\ \]
\[вращение.\]
\[5)\ Центром\ вращения\ и\ \]
\[центром\ описанной\ \]
\[окружности\ является\ одна\ \]
\[точка.\]
\[Следовательно,\ при\ вращении\ \]
\[на\ 90{^\circ}\ каждая\ вершина\ \]
\[квадрата\ будет\ отражаться\ на\ \]
\[соседнюю\ вершину:\]
\[\text{ABCD\ }отразится\ сам\ на\ себя.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\ \ \]