\[\boxed{\mathbf{Вопросы\ для\ повторения\ к\ главе\ }\mathbf{\text{VIII}}\mathbf{.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\boxed{\mathbf{1.}}\]
\[Отношением\ отрезков\ AB\ и\ \text{CD\ }\]
\[называется\ отношение\ \]
\[их\ длин:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{CD}}.\]
\[\boxed{\mathbf{2.}}\]
\[Говорят,\ что\ отрезки\ AB\ и\ \text{CD\ }\]
\[пропорциональны\ \]
\[отрезкам\ A_{1}B_{1}\ и\ C_{1}D_{1},\ если:\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{\text{CD}}{C_{1}D_{1}}.\]
\[\boxed{\mathbf{3.}}\]
\[\mathbf{Два\ треугольника\ называются\ }\]
\[\mathbf{подобными,\ если\ их\ углы\ }\]
\[\mathbf{соответственно}\mathbf{\ }\mathbf{равны\ и\ }\]
\[\mathbf{стороны\ одного\ треугольника\ }\]
\[\mathbf{пропорциональны\ }\]
\[\mathbf{сходственны}\mathbf{м}\mathbf{\ }\mathbf{сторонам\ }\]
\[\mathbf{другого\ треугольника}\mathbf{.}\]
\[\boxed{\mathbf{4.}}\]
\[\mathbf{Теорема:}\]
\[отношение\ площадей\ двух\ \]
\[подобных\ треугольников\ \]
\[равно\ квадрату\ коэффициента\ \]
\[подобия.\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ ⊿ABC\sim ⊿A_{1}B_{1}C_{1};\]
\[k - коэффициент\ подобия.\]
\[S;S_{1} - площади\ этих\ \]
\[треугольников.\]
\[\angle A = \angle A_{1};по\ теореме\ \]
\[об\ отношении\ площадей\ \]
\[треугольников,\ имеющих\ \]
\[по\ равному\ углу:\]
\[\frac{S}{S_{1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_{1}B_{1} \cdot A_{1}C_{1}}.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = k;\ \ \frac{\text{AC}}{A_{1}C_{1}} = k.\]
\[Следовательно:\]
\[\frac{S}{S_{1}} = k^{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{5.}}\]
\[Первый\ признак\ подобия:\]
\[если\ два\ угла\ одного\ \]
\[треугольника\ соответственно\ \]
\[равны\ двум\ углам\ другого,\ \]
\[то\ такие\ треугольники\ \]
\[подобны.\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\ ⊿A_{1}B_{1}C_{1};\]
\[\angle A = \angle A_{1};\ \ \angle B = \angle B_{1}.\]
\[Доказать:\]
\[⊿ABC\sim ⊿A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[Доказательство.\]
\[По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ \]
\[треугольника:\]
\[\angle C = 180{^\circ} - \angle A - \angle B;\]
\[\angle C_{1} = 180{^\circ} - \angle A_{1} - \angle B_{1};\]
\[\angle C = \angle C_{1}.\]
\[Докажем,\ что\ стороны\ ⊿ABC\ \]
\[пропорциональны\ сторонам\ \]
\[⊿A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[Так\ как\ \angle A = \angle A_{1};\ \ \angle C = \angle C_{1}:\]
\[\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = \frac{AB \cdot AC}{A_{1}B_{1} \cdot A_{1}C_{1}} =\]
\[= \frac{CA \cdot CB}{C_{1}A_{1} \cdot C_{1}B_{1}}.\]
\[Отсюда\ следует:\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{\text{CB}}{C_{1}B_{1}}.\]
\[Аналогично\ получаем\ \]
\[\left( \angle A = \angle A_{1};\ \angle B = \angle B_{1} \right):\]
\[\frac{\text{CB}}{C_{1}B_{1}} = \frac{\text{CA}}{C_{1}A_{1}}.\]
\[Следовательно:\]
\[стороны\ треугольника\ \text{ABC}\]
\[пропорциональны\]
\[сходственным\ сторонам\ \]
\[треугольника\ A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{6.}}\]
\[Второй\ признак\ подобия:\]
\[если\ две\ стороны\ одного\ \]
\[треугольника\ \]
\[пропорциональны\ двум\ \ \]
\[сторонам\ другого\ \]
\[треугольника\ и\ углы,\ \]
\[заключённые\ между\ этими\]
\[сторонами,\ равны,\ то\ такие\ \]
\[треугольники\ подобны.\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\ ⊿A_{1}B_{1}C_{1};\]
\[\angle A = \angle A_{1};\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{\text{AC}}{A_{1}C_{1}}.\]
\[Доказать:\]
\[⊿ABC\sim ⊿A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[Доказательство.\]
\[В\ треугольнике\ ABC_{2}:\]
\[\angle 1 = \angle A_{1};\]
\[\angle 2 = \angle B_{1}.\]
\[⊿ABC_{2}\sim ⊿A_{1}B_{1}C_{1} - по\ первому\ \]
\[признаку:\]
\[\angle 1 = \angle A_{1};\]
\[\angle 2 = \angle B_{1}.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{AC_{2}}{A_{1}C_{1}}.\]
\[По\ условию:\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{\text{AC}}{A_{1}C_{1}}.\]
\[Из\ двух\ равенств\ получаем:\]
\[AC = AC_{2}.\]
\[⊿ABC = ⊿ABC_{2} - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[AB - общая\ сторона;\]
\[AC = AC_{2};\]
\[\angle A = \angle 1\ (так\ как\ \angle A = \angle A_{1};\ \ \ \]
\[\angle 1 = \angle A_{1}).\]
\[Следовательно:\]
\[\angle B = \angle 2.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{7.}}\]
\[Третий\ признак\ подобия:\]
\[если\ три\ стороны\ одного\ \]
\[треугольника\ \]
\[пропорциональны\ трем\ \]
\[сторонам\ другого,\ то\ такие\ \]
\[треугольники\ подобны.\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\ \ ⊿A_{1}B_{1}C_{1};\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{\text{BC}}{B_{1}C_{1}} = \frac{\text{CA}}{C_{1}A_{1}}.\]
\[Доказать:\ \]
\[⊿ABC\sim ⊿A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[Доказательство.\]
\[⊿ABC_{2}\sim ⊿A_{1}B_{1}C_{1} - по\ первому\ \]
\[признаку:\]
\[\angle 1 = \angle A_{1};\]
\[\angle 2 = \angle B_{1}.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{BC_{2}}{B_{1}C_{1}} = \frac{C_{2}A}{C_{1}B_{1}}.\]
\[Сравним\ эти\ равенства\ \]
\[с\ \frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{\text{BC}}{B_{1}C_{1}} = \frac{\text{CA}}{C_{1}A_{1}},\ получим:\]
\[BC = BC_{2};\ \ CA = C_{2}\text{A.}\]
\[⊿ABC = ⊿ABC_{2} - по\ трем\ \]
\[сторонам.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle A = \angle 1;\ \ \angle 1 = \angle A_{1}.\]
\[Следовательно:\]
\[\angle A = \angle A_{1}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{8.}}\]
\[Средней\ линией\ треугольника\ \]
\[называется\ отрезок,\ \]
\[соединяющий\ середины\ двух\ \]
\[его\ сторон.\]
\[Теорема:\]
\[средняя\ линия\ треугольника\ \]
\[параллельна\ одной\ из\ его\ \]
\[сторон\ и\ равна\ половине\ этой\ \]
\[стороны.\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\]
\[MN - средняя\ линия.\]
\[Доказать:\]
\[MN \parallel AC;\]
\[MN = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[Доказательство.\]
\[⊿\text{BMN\ }подобен\ ⊿BAC -\]
\[по\ второму\ признаку:\]
\[\angle B - общий;\]
\[\frac{\text{BM}}{\text{BA}} = \frac{\text{BN}}{\text{BC}} = \frac{1}{2}.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle 1 = \angle 2;\]
\[\frac{\text{MN}}{\text{AC}} = \frac{1}{2};\ \ \ MN = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[Так\ как\ \angle 1 = \angle 2:\]
\[MN \parallel AC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{9.}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[⊿ABC;\]
\[AA_{1};\ \ BB_{1} - медианы;\]
\[M - точка\ пересечения\ медиан.\]
\[Доказать:\ \ \]
\[AM\ :MA_{1} = 2\ :1;\]
\[BM\ :B_{1}M = 2\ :1;\]
\[M - единственная\ точка\ \]
\[пересечения.\]
\[Доказательство.\]
\[Проведем\ PQ - среднюю\ \]
\[линию\ треугольника\ AMB,\ \]
\[параллельную\ стороне\ AB.\]
\[Четырехугольник\ A_{1}B_{1}PQ -\]
\[параллелограмм:\]
\[A_{1}B_{1} \parallel PQ\ ;\]
\[Диагонали\ параллелограмма\ \]
\[точкой\ пересечения\ делятся\ \]
\[пополам:\]
\[A_{1}M = MP.\]
\[Точка\ P - середина\ \]
\[отрезка\ \text{AM\ }(по\ построению):\]
\[AP = PM = A_{1}\text{M.}\]
\[Таким\ образом,\ точка\ \text{M\ }\]
\[пересечения\ медиан\ делит\ \]
\[медиану\ AA_{1}\ в\ отношении\ 2:1,\ \]
\[считая\ от\ вершины\ A.\]
\[Медиану\ BB_{1}\ точка\ \text{M\ }делит\ \]
\[в\ таком\ же\ отношении\ \]
\[\left( BQ = QM = MB_{1} \right).\]
\[Из\ этого\ следует,\ что\ медиана,\ \]
\[проведенная\ из\ вершины\ C,\ \]
\[также\ проходит\ через\ точку\ M\ \]
\[и\ делится\ ею\ в\ отношении\ 2\ :1,\ \]
\[то\ есть\ все\ три\ медианы\ \]
\[треугольника\ пересекаются\ \]
\[в\ одной\ точке\ и\ точкой\ \]
\[пересечения\ делятся\ \]
\[в\ отошении\ 2\ :1.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{10.}}\]
\[Высота\ прямоугольного\ \]
\[треугольника,\ опущенная\ из\ \]
\[вершины\ прямоуго\ угла,\ \]
\[разбивает\ его\ на\ два\ \]
\[треугольника,\ подобных\ \]
\[исходному.\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC - прямоугольный;\]
\[\angle A = a;\]
\[\angle C = 90{^\circ};\]
\[CH - высота.\]
\[Доказать:\]
\[⊿AHC\sim ⊿CHB.\]
\[Доказательство.\]
\[По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ \]
\[треугольника\ в\ \mathrm{\Delta}ABC:\]
\[\angle BAC = 90{^\circ} - \angle ABC = 90{^\circ} - a.\]
\[По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ \]
\[треугольника\ в\ \mathrm{\Delta}BCH:\]
\[\angle BCH = 90{^\circ} - \angle HBC = 90{^\circ} - a.\]
\[Таким\ образом,\ \]
\[у\ прямоугольных\ \]
\[треугольников\ \text{AHC\ }и\ \text{CHB\ }\]
\[острые\ углы\ равны.\ \]
\[Значит,\ эти\ треугольники\ \]
\[подобны.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\ \]
\[\boxed{\mathbf{11.}}\]
\[\mathbf{Рисунок\ к\ утверждениям.}\]
\[1)\ Высота\ прямоугольного\ \]
\[треугольника,\ проведенная\ из\ \]
\[вершины\ прямого\ угла,\ есть\ \]
\[среднее\ пропорциональное\ \]
\[для\ отрезков,\ на\ которые\ \]
\[делится\ гипотенуза\ этой\ \]
\[высотой.\]
\[Доказательство.\]
\[⊿ADC\sim ⊿CBD:\]
\[\frac{\text{AD}}{\text{CD}} = \frac{\text{CD}}{\text{DB}};\]
\[CD^{2} = AD \cdot DB;\]
\[CD = \sqrt{AD \cdot BD}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[2)\ Катет\ прямоугольного\ \]
\[треугольника\ есть\ среднее\ \]
\[пропорциональное\ для\ \]
\[гипотенузы\ и\ отрезка\ \]
\[гипотенузы,\ заключенного\ \]
\[между\ катетом\ и\ высотой,\ \]
\[проведенной\ из\ вершины\ \]
\[прямого\ угла.\]
\[⊿ABC\sim ⊿ACD:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{AC}} = \frac{\text{AC}}{\text{AD}}\]
\[AC^{2} = AB \cdot AD\]
\[AC = \sqrt{AB \cdot AD}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{12.}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathbf{Построить:}\]
\[\mathbf{\mathrm{\Delta}}\text{ABC\ }по\ \angle A\ и\ медиане,\ если\ \]
\[AB:AC = 2\ :3.\]
\[Построение.\]
\[1)\ Отметим\ на\ одной\ стороне\ \]
\[угла\ \text{A\ }три\ одинаковых\ отрезка\ \]
\[любой\ длины,\ а\ на\ другой\ \]
\[стороне - два\ таких\ же\ \]
\[отрезка.\]
\[2)\ Проведем\ прямую\ через\ \]
\[конец\ третьего\ и\ второго\ \]
\[отрезка,\ на\ середине\ данного\ \]
\[отрезка\ отметим\ точку\ K.\]
\[3)\ Проведем\ луч\ AK,\ отложим\ \]
\[на\ нем\ отрезок\ AM,\ равный\ \]
\[медиане.\]
\[4)\ Проведем\ прямую,\ \]
\[параллельную\ прямой\ из\ \]
\[пункта\ 2,\ через\ точку\ \text{M.}\]
\[5)\ На\ пересечении\ данной\ \]
\[прямой\ и\ большей\ стороны\ \]
\[угла\ отметим\ точку\ C,\ \]
\[а\ на\ пересечении\ второй\ \]
\[стороны\ угла - \ точку\ B.\]
\[6)\ Соединим\ точки\ A,\ B\ и\ \text{C.}\]
\[\boxed{\mathbf{13.}}\]
\[Предположим,\ что\ нам\ нужно\ \]
\[определить\ высоту\ \]
\[какого - нибудь\ \ предмета,\ \]
\[например\ высоту\ \]
\[телеграфного\ столба\ А_{1}С_{1}.\]
\[Для\ этого\ поставим\ на\ \]
\[некотором\ расстоянии\ \]
\[от\ столба\ шест\ \text{AC}\ с\ \ \]
\[вращающейся\ планкой\ и\ \]
\[направим\ планку\ на\ верхнюю\ \]
\[точку\ A_{1}\ столба,\ как\ \ показано\ \]
\[на\ рисунке.\ \ \]
\[Отметим\ на\ поверхности\ земли\ \]
\[точку\ B,\ в\ которой\ прямая\ A_{1}\text{A\ \ }\]
\[пересекается\ с\ поверхностью\ \]
\[земли.\ \ \]
\[Прямоугольные\ \]
\[треугольники\ A_{1}C_{1}B\ и\ ACB\ \]
\[подобны\ по\ первому\ признаку\ \]
\[подобия\ треугольников:\]
\[\angle C_{1}\ = \angle C = \ 90{^\circ};\ \]
\[\angle B\ —\ общий.\ \ \]
\[Из\ \ подобия\ \ треугольников\ \]
\[следует:\ \]
\[\frac{A_{1}C_{1}}{\text{AC}} = \frac{BC_{1}}{\text{BC}};\ \]
\[A_{1}C_{1} = \frac{AC \cdot BC_{1}}{\text{BC}}.\]
\[Измерив\ расстояния\ BC_{1}\ и\ \text{BC}\ \]
\[и\ зная\ длину\ \text{AC}\ шеста,\ по\text{\ \ }\]
\[полученной\ формуле\ \]
\[определяем\ высоту\ A_{1}C_{1}\ \]
\[телеграфного\ столба.\]
\[BC_{1}\ = \ 6,3\ м;\ \ \text{BC}\ = \ 2,1\ м;\text{\ \ }\]
\[\text{AC} = \ 1,7\ м:\]
\[A_{1}C_{1} = \frac{1,7 \cdot 6,3}{2,1} = 5,1\ м.\]
\[Предположим,\ что\ нам\ нужно\ \]
\[найти\ расстояние\ от\ \]
\[пункта\ A\ до\ недоступного\ \]
\[пункта\ \text{B.\ }\ \]
\[Для\ этого\ на\ местности\ \]
\[выбираем\ точку\ C,\ \]
\[провешиваем\ отрезок\ \text{AC}\ и\ \]
\[измеряем\ его.\ \ \]
\[Затем\ с\ помощью\ астролябии\ \]
\[измеряем\ углы\ A\ и\ \text{C.\ \ }\]
\[На\ листе\ бумаги\ строим\ \]
\[какой - нибудь\ треугольник\ \]
\[A_{1}B_{1}C_{1}\ у\ которого\ \angle A_{1} = \angle A;\ \]
\[\angle C_{1} = \angle C\ и\ измеряем\ длины\ \]
\[сторон\ A_{1}B_{1}\ и\ A_{1}C_{1}.\]
\[⊿ABC\ подобен\ ⊿A_{1}B_{1}C_{1} -\]
\[по\ первому\ признаку:\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{\text{AC}}{A_{1}C_{1}}.\]
\[Отсюда:\]
\[AB = \frac{AC \cdot A_{1}B_{1}}{A_{1}C_{1}}.\]
\[\boxed{\mathbf{14.}}\]
\[Фигуры\ F\ и\ F_{1}\ называются\ \]
\[подобными,\ если\ каждой\ точке\ \]
\[фигуры\ F\ можно\ сопоставить\ \]
\[точку\ фигуры\ F_{1}\ так,\ что\ для\ \]
\[любых\ двух\ точек\ M\ и\ N\ \]
\[фигуры\ \text{F\ }и\ сопоставленных\ \]
\[им\ точек\ M_{1}\ и\ N_{1}\ фигуры\ F_{1}\]
\[выполняется\ равенство:\]
\[\frac{\text{MN}}{M_{1}N_{1}} = k;\ \ где\ k - одно\ и\ то\ же\ \]
\[положительное\ число\ для\ всех\ \]
\[точек.\]
\[k - коэффициент\ подобия\ \]
\[фигур.\]
\[\boxed{\mathbf{15.}}\]
\[\mathbf{Синусом\ острого\ угла\ }\]
\[\mathbf{прямоугольного\ треугольника\ }\]
\[\mathbf{называется\ отношение\ }\]
\[\mathbf{противолежащего\ катета\ }\]
\[\mathbf{к\ гипотенузе}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Косинусом\ острого\ угла\ }\]
\[\mathbf{прямоугольного\ треугольника\ }\]
\[\mathbf{называется\ отношение\ }\]
\[\mathbf{прилежащего\ катета\ }\]
\[\mathbf{к\ гипотенузе}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Тангенсом\ острого\ угла\ }\]
\[\mathbf{прямоугольного\ треугольника\ }\]
\[\mathbf{называется\ отношение\ }\]
\[\mathbf{противолежащего\ катета\ }\]
\[\mathbf{к\ прилежащему\ катету}\mathbf{.}\]
\[\boxed{\mathbf{16.}}\]
\[Если\ острый\ угол\ одного\ \]
\[прямоугольного\ треугольника\ \]
\[равен\ острому\ углу\ другого\ \]
\[прямоугольного\ треугольника,\ \]
\[то\ синусы\ этих\ углов\ равны,\ \]
\[косинусы\ этих\ углов\ равны\ и\ \]
\[тангенсы\ этих\ углов\ \ равны.\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ ABC\ и\ A_{1}B_{1}C_{1} - два\ \]
\[прямоугольных\ треугольника:\]
\[\angle C = \angle C_{1} = 90{^\circ};\]
\[\angle A = \angle A_{1} - острые.\]
\[⊿ABC\sim ⊿A_{1}B_{1}C_{1} - по\ первому\ \]
\[признаку:\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{\text{BC}}{B_{1}C_{1}} = \frac{\text{AC}}{A_{1}C_{1}}.\]
\[Отсюда\ следует:\]
\[\frac{\text{BC}}{\text{AB}} = \frac{B_{1}C_{1}}{A_{1}B_{1}};\]
\[\sin A = \sin A_{1}.\]
\[\frac{\text{AC}}{\text{AB}} = \frac{A_{1}C_{1}}{A_{1}B_{1}}\ (аналогично):\]
\[\cos A = \cos A_{1}.\]
\[\frac{\text{BC}}{\text{AC}} = \frac{B_{1}C_{1}}{A_{1}C_{1}}:\]
\[tgA = tgA_{1}\text{.\ }\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{17.}}\]
\[Основное\ тригонометрическое\ \]
\[тождество:\]
\[\sin^{2}A + \cos^{2}A = 1.\]
\[\boxed{\mathbf{18.}}\]
\[⊿ABC;\ \ \]
\[\angle C = 90{^\circ};\ \angle A = 30{^\circ};\ \angle B = 60{^\circ}.\]
\[Катет,\ лежащий\ против\ угла\ \]
\[в\ 30{^\circ}\ равен\ половине\ \]
\[гипотенузы:\]
\[\frac{\text{BC}}{\text{AB}} = \frac{1}{2}.\]
\[Но:\]
\[\frac{\text{BC}}{\text{AB}} = \sin A = \sin{30{^\circ}} = \frac{1}{2};\]
\[\frac{\text{BC}}{\text{AB}} = \cos B = \cos{60{^\circ}} = \frac{1}{2}.\]
\[Из\ основного\ \]
\[тригонометрического\ \]
\[тождества:\]
\[\cos{30{^\circ}} = \sqrt{1 - sin^{2}30{^\circ}} =\]
\[= \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2};\]
\[\sin{60{^\circ}} = \sqrt{1 - cos^{2}60{^\circ}} =\]
\[= \sqrt{1 - \frac{1}{4}\ } = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]
\[По\ формуле\ 4:\]
\[tg\ 30{^\circ} = \frac{\sin{30{^\circ}}}{\cos{30{^\circ}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3};\]
\[tg\ 60{^\circ} = \frac{\sin{60{^\circ}}}{\cos{60{^\circ}}} = \sqrt{3}.\]