\[\boxed{\mathbf{Вопросы\ для\ повторения\ к\ главе\ }\mathbf{\text{VII}}\mathbf{.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\boxed{\mathbf{1.}}\]
\[\mathbf{Измерение\ }\mathbf{площадей\ }\]
\[\mathbf{проводится\ с\ помощью\ }\]
\[\mathbf{выбранной\ единицы\ }\]
\[\mathbf{изме}\mathbf{рения\ }\mathbf{аналогично\ \ }\]
\[\mathbf{измерению\ длин\ }\mathbf{отрезков.\ }\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{За\ единицу\ }\mathbf{измерения\ \ }\]
\[\mathbf{площадей\ }\mathbf{принимают\ \ }\]
\[\mathbf{квадрат,\ сторона\ }\mathbf{которого\ \ }\]
\[\mathbf{равна\ единице\ }\mathbf{измерения\ }\]
\[\mathbf{отрезков}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Обычно\ измеряют\ }\mathbf{лишь\ \ }\]
\[\mathbf{некоторые\ связанные\ }\mathbf{с\ \ }\]
\[\mathbf{многоугольником\ }\mathbf{отрезки,\ }\]
\[\mathbf{а\ затем\ вычисляют\ }\mathbf{п}\mathbf{лощадь\ по\ }\]
\[\mathbf{определённым\ }\mathbf{формулам}\mathbf{.}\]
\[\boxed{\mathbf{2.}}\]
\[Основные\ свойства\ площадей\ \]
\[многоугольников:\]
\[1)\ равные\ многоугольники\ \]
\[имеют\ равные\ площади;\]
\[2)\ если\ многоугольник\ \]
\[составлен\ из\ нескольких\ \]
\[многоугольников,\ то\ его\ \]
\[площадь\ равна\ \ сумме\ \]
\[площадей\ этих\ \]
\[многоугольников;\]
\[3)\ площадь\ квадрата\ равна\ \]
\[квадрату\ его\ стороны.\]
\[\boxed{\mathbf{3.}}\]
\[\mathbf{Если\ площади\ двух\ }\]
\[\mathbf{многоугольников\ равны,\ }\]
\[\mathbf{то\ эти\ }\mathbf{многоугольники\ \ }\]
\[\mathbf{называются\ }\mathbf{равновеликими.}\]
\[\mathbf{Если\ один\ многоугольник\ }\]
\[\mathbf{разрезан\ на\ несколько\ }\]
\[\mathbf{многоугольников\ и\ из\ них\ }\]
\[\mathbf{со}\mathbf{ставлен\ другой\ }\]
\[\mathbf{многоугольник,\ то\ }\mathbf{такие\ }\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{многоугольники\ называются\ }\]
\[\mathbf{равносоставленными.}\]
\[\boxed{\mathbf{4.}}\]
\[Теорема:\]
\[площадь\ прямоугольника\ \]
\[равна\ произведению\ его\ \]
\[смежных\ сторон.\]
\[Дано:\]
\[прямоугольник;\]
\[a;b - стороны\ \]
\[прямоугольника.\]
\[Доказать:\]
\[S = \text{ab.}\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Достроим\ прямоугольник\ \]
\[до\ квадрата,\ сторона\ \]
\[которого = (a + b).\]
\[2)\ Площадь\ квадрата\ \]
\[(по\ свойству\ 3):\]
\[(a + b)^{2}\text{.\ }\]
\[3)\ С\ другой\ стороны,\ площадь\ \]
\[квадрата\ равна\ сумме\ \]
\[площадей\ составляющих\ \]
\[его\ частей:\]
\[(a + b)^{2} = S + S + a^{2} + b^{2}\]
\[a^{2} + 2ab + b^{2} = 2S + a^{2} + b^{2}\]
\[2S = 2ab\]
\[S = ab.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{5.}}\]
\[\mathbf{Теорема:}\]
\[\mathbf{площадь\ параллелограмма\ }\]
\[\mathbf{равна\ произведению\ его\ }\]
\[\mathbf{основания\ на\ высоту}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[h - высота;\]
\[AB = CD = a.\]
\[\mathbf{Доказать}\mathbf{:\ \ }\]
\[S_{\text{ABCD}} = a \cdot h.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Если\ он\ не\ является\ \]
\[прямоугольником,\ то\ один\ из\ \]
\[его\ углов\ A\ или\ B\ острый,\ \]
\[пусть\ для\ определенности\ \]
\[угол\ A - острый.\]
\[3)\ Опустим\ перпендикуляр\ \text{AE\ }\]
\[из\ вершины\ \text{A\ }на\ прямую\ CD,\ \]
\[площадь\ трапеции\ \text{ABCE\ }\]
\[равна\ сумме\ площадей\ \]
\[параллелограмма\ \text{ABCD\ }и\]
\[треугольника\ ADE:\]
\[S_{\text{ABCE}} = S_{\text{ABCD}} + S_{\text{ADE}}.\]
\[4)\ Опустим\ перпендикуляр\ \text{BF\ }\]
\[из\ вершины\ \text{B\ }на\ прямую\ CD,\ \]
\[тогда\ площадь\ трапеции\ \text{ABCE\ }\]
\[равна\ сумме\ площадей\ \]
\[прямоугольника\ \text{ABFE}\]
\[и\ треугольника\ BCF:\]
\[S_{\text{ABCE}} = S_{\text{ABFE}} + S_{\text{BCF}}.\]
\[5)\ Так\ как\ отрезки\ \text{AE\ }и\ \text{BF\ }\]
\[равны\ расстоянию\ между\ \]
\[параллельными\ прямыми\ AB\ \]
\[и\ CD,\ то\ они\ являются\ \]
\[высотами\ параллелограмма\ \]
\[\text{ABCD},опущенными\ на\ \]
\[сторону\ AB:\ \ \]
\[AE = BF = h.\]
\[6)\ Рассмотрим\ параллельные\ \]
\[прямые\ \text{AD\ }и\ \text{BC\ }и\ секущую\ DC:\]
\[\angle ADE = \angle BCF\ \]
\[(как\ соответственные\ углы).\]
\[7)\ Тогда\ прямоугольные\ \]
\[треугольники\ \text{ADE\ }и\ \text{BCF\ }\]
\[равны\ по\ катету\ и\]
\[противолежащему\ острому\ \]
\[углу:\]
\[они\ имеют\ равные\ площади;\]
\[S_{\text{ADE}} = S_{\text{BCF}}.\]
\[8)\ Значит,\ площади\ \]
\[параллелограмма\ \text{ABCD\ }и\ \]
\[прямоугольника\ ABFE\ равны:\]
\[S_{\text{ABCD}} = S_{\text{ABFE}} = AB \bullet BF = a \bullet h\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать}\mathbf{.}\]
\[\boxed{\mathbf{6.}}\]
\[\mathbf{Теорема:}\]
\[площадь\ треугольника\ равна\ \]
\[половине\ произведения\ его\ \]
\[основания\ на\ высоту.\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\]
\[AB - основание;\]
\[CH - высота.\]
\[Доказать:\]
\[S = \frac{1}{2}AB \cdot CH.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Достроим\ треугольник\ до\ \]
\[параллелепипеда\ \text{ABDC.}\]
\[2)\ ⊿ABC = ⊿DCB - по\ трем\ \]
\[сторонам:\]
\[BC - общая\ сторона;\]
\[AB = CD;\ \ AC = BD - как\ \]
\[противоположные\ стороны\ \]
\[параллелограмма.\]
\[Отсюда:\]
\[площади\ треугольников\ \]
\[равны.\]
\[Следовательно:\]
\[S_{\text{ABC}} = \frac{1}{2}S_{\text{ABCD}} = \frac{1}{2}AB \cdot CH.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[Площадь\ прямоугольного\ \]
\[треугольника\ равна\ половине\ \]
\[произведения\ его\ катетов.\]
\[\boxed{\mathbf{7.}}\]
\[\mathbf{Теорема:}\]
\[\mathbf{если\ угол\ одного\ }\mathbf{треугольни}\mathbf{ка\ }\]
\[\mathbf{равен\ углу\ другого\ }\]
\[\mathbf{треугольника,\ }\mathbf{то\ площади\ }\]
\[\mathbf{этих\ треугольников\ относятся\ }\]
\[\mathbf{как\ }\mathbf{произведения\ сторон,\ }\]
\[\mathbf{заключающих\ равные}\mathbf{\ углы}\mathbf{.}\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\]
\[CH - высота;\]
\[S - площадь;\]
\[⊿A_{1}B_{1}C_{1};\]
\[C_{1}H_{1} - высота;\]
\[S_{1} - площадь;\]
\[\angle A = \angle A_{1}.\]
\[Доказать:\]
\[\frac{S}{S_{1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_{1}B_{1} \cdot A_{1}C_{1}}.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Наложим\ ⊿A_{1}B_{1}C_{1}\ на\ ⊿ABC\ \]
\[так,\ чтобы\ вершина\ A_{1}\ \]
\[совместилась\ с\ вершиной\ A,\ \]
\[стороны\ A_{1}B_{1}\ и\ A_{1}C_{1}\ \]
\[наложились\ на\ лучи\ \text{AB\ }и\ \text{AC}.\]
\[2)\ ⊿ABC\ и\ ⊿AB_{1}\text{C\ }имеют\ \]
\[общую\ высоту\ CH:\]
\[\frac{S}{S_{AB_{1}C}} = \frac{\text{AB}}{AB_{1}}.\]
\[3)\ ⊿AB_{1}\text{C\ }и\ ⊿AB_{1}C_{1}\ имеют\ \]
\[общую\ высоту\ B_{1}H_{1}:\]
\[\frac{S_{AB_{1}C}}{S_{AB_{1}C_{1}}} = \frac{\text{AC}}{AC_{1}}.\]
\[4)\ Перемножая\ полученные\ \]
\[равенства,\ получаем:\]
\[\frac{S}{S_{1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_{1}B_{1} \cdot A_{1}C_{1}}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{8.}}\]
\[\mathbf{Теорема:}\]
\[площадь\ трапеции\ равна\ \]
\[произведению\ полусуммы\ \]
\[ее\ оснований\ на\ высоту.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - трпаеция;\]
\[AD;BC - основания;\]
\[BH - высота.\]
\[Доказать:\]
\[S = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH.\]
\[Доказательство.\]
\[Диагональ\ BD\ делит\ трапецию\ \]
\[на\ два\ треугольника\ \text{ABD\ }и\ \]
\[BCD:\]
\[S = S_{\text{ABD}} + S_{\text{BCD}}.\]
\[В\ треугольнике\ ABD:\]
\[AD - основание;\]
\[BH - высота.\]
\[В\ треугольнике\ BCD:\]
\[\text{BC} - основание;\]
\[DH_{1} - высота.\]
\[Получаем\ (DH_{1} = BH):\]
\[S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2}AD \cdot BH;\]
\[S_{\text{BCD}} = \frac{1}{2}BC \cdot DH_{1} = \frac{1}{2}BC \cdot BH.\]
\[Следовательно:\]
\[S = \frac{1}{2}AD \cdot BH + \frac{1}{2}BC \cdot BH =\]
\[= \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{9.}}\]
\[Теорема\ Пифагора:\]
\[в\ прямоугольном\ \]
\[треугольнике\ квадрат\ \]
\[гипотенузы\ равен\ сумме\]
\[квадратов\ катетов.\]
\[Дано:\]
\[прямоугольный\ треугольник;\]
\[a;b - катеты;\]
\[c - гипотенуза.\]
\[Доказать:\]
\[c^{2} = a^{2} + b^{2}.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Достроим\ треугольник\ до\ \]
\[квадрата\ со\ стороной\ (a + b).\]
\[2)\ S_{кв} = (a + b)^{2}.\]
\[3)\ Квадрат\ составлен\ из\ \]
\[четырех\ равных\ \]
\[треугольников,\ площадь\]
\[каждого\ равна\ \frac{1}{2}\text{ab\ }и\ квадрата\ \]
\[со\ стороной\ c:\]
\[S = 4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^{2} = 2ab + c^{2}.\]
\[4)\ Запишем\ равенство:\]
\[(a + b)^{2} = 2ab + c^{2}\]
\[a^{2} + 2ab + b^{2} = 2ab + c^{2}\]
\[a^{2} + b^{2} = c^{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{10.}}\]
\[Теорема:\]
\[если\ квадрат\ одной\ стороны\ \]
\[треугольника\ равен\ сумме\ \]
\[квадратов\ двух\ других\ сторон,\ \]
\[то\ треугольник\ \]
\[прямоугольный.\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\]
\[AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}.\]
\[Доказать:\]
\[⊿ABC - прямоугольный.\]
\[Доказательство.\]
\[Рассмотрим\ прямоугольный\ \]
\[треугольник\ A_{1}B_{1}C_{1};\ \ \]
\[\angle C_{1} = 90{^\circ}.\]
\[По\ теореме\ Пифагора:\]
\[A_{1}B_{1}^{2} = A_{1}C_{1}^{2} + B_{1}C_{1}^{2}\]
\[A_{1}B_{1}^{2} = AC^{2} + BC^{2}\]
\[A_{1}B_{1}^{2} = AB^{2}\]
\[A_{1}B_{1} = AB.\]
\[⊿ABC = ⊿A_{1}B_{1}C_{1} - по\ трем\ \]
\[сторонам:\]
\[A_{1}C_{1} = AC;\]
\[B_{1}C_{1} = BC;\]
\[A_{1}B_{1} = AB.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle C = \angle C_{1} = 90{^\circ};\]
\[⊿ABC - прямоугольный.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{11.}}\]
\[\mathbf{Прямоугольные\ \ треугольники,\ }\]
\[\mathbf{у\ \ которых\ длины\ \ сторон\ \ }\]
\[\mathbf{выражаются\ \ целыми\ \ числами,\ }\]
\[\mathbf{называются\ пифагоровыми\ }\]
\[\mathbf{треугольниками.}\]
\[\mathbf{Примеры:}\]
\[12,\ 5,\ 13;\]
\[3,\ 4,\ 5.\]
\[\boxed{\mathbf{12.}}\]
\[Формула\ Герона:\]
\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)};\ \ \]
\[где\ a;b;c - стороны\ \]
\[треугольника;\]
\[p = \frac{a + b + c}{2} - полупериметр\ \]
\[треугольника.\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\]
\[AB = c;\]
\[BC = a;\]
\[AC = b.\]
\[Доказать:\ \]
\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ \angle A\ и\ \angle B - острые\ углы\ \]
\[треугольника.\]
\[CH\bot AB - высота.\]
\[Пусть\ CH = h;\ \ AH = y;HB = x.\]
\[По\ теореме\ Пифагора:\]
\[a^{2} - x^{2} = h^{2} = b^{2} - y^{2}\]
\[y^{2} - x^{2} = b^{2} - a^{2}\]
\[(y - x)(y + x) = b^{2} - x^{2}.\]
\[Так\ как\ y + x = c:\]
\[y - x = \frac{1}{c}\left( b^{2} - a^{2} \right).\]
\[Сложим\ два\ последних\ \]
\[равенства\ и\ разделим\ их\ на\ 2:\]
\[y = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}.\]
\[Отсюда:\]
\[h^{2} = b^{2} - y^{2} =\]
\[= (b + y)(b - y) =\]
\[Следовательно:\]
\[h = \frac{2\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{c};\]
\[S = \frac{1}{2}\text{hc.}\]
\[Получаем:\]
\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]