\[\boxed{\mathbf{Вопросы\ для\ повторения\ к\ главе\ }\mathbf{\text{VI}}\mathbf{.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\boxed{\mathbf{1.}}\]
\[\mathbf{Выпуклым\ многоугольником\ }\]
\[\mathbf{называется\ многоугольник,\ }\]
\[\mathbf{обладающий\ тем\ свойством,\ }\]
\[\mathbf{что\ все\ его\ точки\ лежат\ по\ }\]
\[\mathbf{одну\ сторону\ от\ любой}\mathbf{\ }\mathbf{прямой,\ }\]
\[\mathbf{проходящей\ через\ две\ его\ }\]
\[\mathbf{соседние\ вершины}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Углом\ выпуклого\ }\]
\[\mathbf{многоугольника\ при\ заданной\ }\]
\[\mathbf{вершине\ называется\ угол,\ }\]
\[\mathbf{образованный\ его\ сторонами,\ }\]
\[\mathbf{сходящимися\ в\ этой\ вершине.}\]
\[\boxed{\mathbf{2.}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Пусть\ A_{1}A_{2}\ldots A_{n} - данный\ \]
\[выпуклый\ многоугольник\ и\ \]
\[n > 3.\]
\[2)\ Проведем\ (n - 3)\ диагонали:\ \ \]
\[A_{1}A_{3},\ A_{1}A_{4},\ \ldots,A_{1}A_{(n - 1)}.\]
\[3)\ Так\ как\ многоугольник\ \]
\[выпуклый,\ то\ эти\ диагонали\ \]
\[разбивают\ его\ на\ (n - 2)\ \]
\[треугольника:\ \ \]
\[\mathrm{\Delta}A_{1}A_{2}A_{3},\ \mathrm{\Delta}A_{1}A_{3}A_{4},\ldots,\ \mathrm{\Delta}A_{1}A_{n - 1}A_{n}.\]
\[4)\ Сумма\ углов\ \]
\[многоугольника\ A_{1}A_{1}\ldots A_{n}\ \]
\[совпадает\ с\ суммой\ углов\ \]
\[всех\ этих\ треугольников.\]
\[5)\ Сумма\ углов\ каждого\ \]
\[треугольника\ равна\ 180{^\circ},\ \]
\[а\ так\ как\ число\ этих\]
\[треугольников\ есть\ (n - 2),\ \]
\[то\ сумма\ углов\ выпуклого\ \]
\[n\text{-}угольника\ A_{1}A_{2}\ldots A_{n}\ равна:\]
\[180{^\circ} \bullet (n - 2).\]
\[Ответ:\ \ 180{^\circ} \bullet (n - 2);\]
\[\boxed{\mathbf{3.}}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Внешний\ и\ внутренний\ углы\ \]
\[многоугольника\ являются\ \]
\[смежными.\]
\[Следовательно,\ их\ сумма\ \]
\[равна\ 180{^\circ},\ тогда\ сумма\ всех\ \]
\[внутренних\ и\ внешних\ углов\ \]
\[n\text{-}угольника\ равна:\]
\[S_{1} = n \bullet 180{^\circ}.\]
\[2)\ Сумма\ всех\ внутрениих\ \]
\[углов\ n\text{-}угольника\ равна:\ \ \]
\[S_{2} = 180{^\circ} \bullet (n - 2).\]
\[3)\ Найдем\ сумму\ только\ \]
\[внешних\ углов:\]
\[S = S_{1} - S_{2} =\]
\[= n \bullet 180{^\circ} - 180{^\circ} \bullet (n - 2) =\]
\[= 180n - 180n + 360{^\circ} = 360{^\circ}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{4.}}\]
\[2)\ Противолежащие\ стороны\ \]
\[этого\ четырехугольника:\ \ \]
\[\text{PQ\ }и\ RS:\ \ PS\ и\ \text{QR.}\]
\[3)\ Противолежащие\ вершины\ \]
\[этого\ четырехугольника:\ \ \]
\[\text{P\ }и\ R;\ \ \ \ \ Q\ и\ \text{S.}\]
\[3)\ Диагонали\ этого\ \]
\[четырехугольника:\]
\[PR;\ \ QS.\]
\[\boxed{\mathbf{5.}}\]
\[\mathbf{Сумма\ углов\ выпуклого\ }\]
\[\mathbf{четырехугольника\ равн}а\ 360{^\circ}.\]
\[\boxed{\mathbf{6.}}\]
\[\mathbf{Параллелограмм\ —\ это\ }\]
\[\mathbf{четырехугольник,\ у\ которого\ }\]
\[\mathbf{противоположные\ стороны\ }\]
\[\mathbf{попарно\ параллельны\ и\ равны.\ \ }\]
\[\mathbf{Параллелограмм\ является\ }\]
\[\mathbf{выпуклым\ }\]
\[\mathbf{четырехугольником.}\]
\[\boxed{\mathbf{7.}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathbf{Доказать:\ \ }\]
\[\mathbf{у\ параллелограмма\ }\]
\[\mathbf{противолежащие\ стороны\ }\]
\[\mathbf{равны\ и\ противолежащие\ }\]
\[\mathbf{углы\ равны}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ ABCD - данный\ \]
\[параллелограмм.\]
\[2)\ Проведем\ диагонали\ \]
\[параллелограмма\ и\ отметим\ \]
\[точку\ \text{O\ }на\ их\ пересечении:\]
\[AO = OC\ \ и\ \ BO = OD.\]
\[4)\ ⊿AOB = ⊿COD - по\ первому\ \]
\[признаку.\]
\[\angle AOB = \angle COD;\]
\[\angle AOD = \angle COB\ \]
\[(как\ вертикальные\ углы).\]
\[Отсюда:\]
\[AB = CD.\]
\[5)\ ⊿\text{BOC} = ⊿AOD - по\ первому\ \]
\[признаку,\ отсюда:\]
\[BC = AD.\]
\[6)\ ⊿ABC = ⊿ADC - по\ \]
\[третьему\ признаку,\ отсюда:\]
\[\angle ABC = \angle ADC.\]
\[7)\ ⊿ABD = ⊿CBD - по\ \]
\[третьему\ признаку,\ отсюда:\]
\[\angle BAC = \angle BCD.\]
\[8)\ Таким\ образом,\ у\ \]
\[параллелограмма\ \text{ABCD\ }\]
\[противолежащие\ стороны\]
\[и\ противолежащие\ углы\ \]
\[равны.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{8.}}\]
\[Дано:\]
\[\text{ABCD} - параллелограмм;\]
\[\text{AC};BD - диагонали;\]
\[O - точка\ пересечения\ \]
\[диагоналей.\ \]
\[Доказать:\ \ \]
\[AO = OC;\]
\[DO = OB.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ ABCD - параллелограмм:\]
\[AD \parallel BC.\]
\[2)\ AD \parallel BC;\ \ AC;BD - секущие:\]
\[\angle 1 = \angle 4;\ \ \angle 2 = \angle 3 - как\ \]
\[накрест\ лежащие.\]
\[3)\ ⊿AOD = ⊿BOC - по\ стороне\ \]
\[и\ двум\ прилежащим\ углам.\]
\[AD = BC - как\ \]
\[противоположные\ стороны\ \]
\[параллелограмма;\]
\[\angle 1 = \angle 4;\ \ \angle 2 = \angle 3.\]
\[4)\ Из\ равенства\ треугольников\ \]
\[следует:\]
\[AO = OC;\]
\[DO = OB.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{9.}}\]
\[Если\ в\ четырехугольнике\ две\ \]
\[стороны\ равны\ и\ параллельны,\ \]
\[то\ этот\ четырехугольник -\]
\[параллелограмм.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[AD = BC;\]
\[AD \parallel BC.\]
\[Доказать:\]
\[ABCD - параллелограмм.\]
\[Доказательство.\]
\[AD \parallel BC;\ \ AC - секущая:\]
\[\angle 1 = \angle 3.\]
\[⊿ABC = ⊿ADC - по\ первому\ \]
\[признаку:\]
\[AC - общая;\]
\[\angle 1 = \angle 3;\]
\[AD = BC - по\ условию.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle 2 = \angle 4.\]
\[Но\ \angle 2\ и\ \angle 4 - накрест\ лежащие\ \]
\[при\ пересечении\ прямых\ \text{AB\ }и\ \]
\[\text{DC}\ и\ секущей\ AC:\]
\[AB \parallel DC.\]
\[Получили:\]
\[AD \parallel BC;\ \ AB \parallel DC:\]
\[в\ четырехугольнике\ \]
\[противоположные\ стороны\ \]
\[попарно\ параллельны;\]
\[ABCD - параллелограмм.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[Если\ в\ четырехугольнике\ \]
\[противоположные\ стороны\ \]
\[попарно\ параллельны,\ то\ этот\ \]
\[четырехугольник -\]
\[параллелограмм.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[AB = DC;\]
\[AD = BC.\]
\[Доказать:\]
\[ABCD - параллелограмм.\]
\[Доказательство.\]
\[Проведем\ диагональ\ \text{AC.}\]
\[⊿ABC = ⊿ADC - по\ третьему\ \]
\[признаку:\]
\[AB = DC;\]
\[AD = BC - по\ условию;\]
\[AC - общая\ сторона.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle 1 = \angle 2.\]
\[Но\ \angle 1\ и\ \angle 2\ накрест\ лежащие\ \]
\[при\ пересечении\ прямых\ \text{AD\ }и\ \]
\[\text{BC\ }и\ секущей\ \text{AC}:\]
\[AD \parallel BC - по\ признаку\ \]
\[параллельности\ прямых.\]
\[Получаем:\]
\[AD = BC;\ \ AD \parallel BC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[Если\ в\ четырехугольнике\ \]
\[диагонали\ пересекаются\ и\ \]
\[точкой\ пересечения\ делятся\ \]
\[пополам,\ то\ этот\ \]
\[четырехугольник\ \]
\[параллелограмм.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[AC;BD - диагонали;\]
\[O - точка\ пересечения\ \]
\[диагоналей;\]
\[AO = OC;\]
\[DO = OB.\]
\[Доказать:\]
\[ABCD - параллелограмм.\]
\[Доказательство.\]
\[⊿AOD = ⊿BOC - по\ первому\ \]
\[признаку:\]
\[AO = OC;\]
\[DO = OB - по\ условию;\]
\[\angle AOD = \angle BOC - как\ \]
\[вертикальные.\]
\[Отсюда:\]
\[AD = BC;\]
\[\angle 1 = \angle 2.\]
\[При\ этом\ \angle 1\ и\ \angle 2 - накрест\]
\[лежащие\ при\ пересечении\ \]
\[прямых\ \text{AD\ }и\ \text{BC\ }и\ секущей\ \text{AC}:\]
\[AD \parallel BC - по\ признаку\ \]
\[параллельности\ двух\ прямых.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{10.}}\]
\[\mathbf{Трапецией\ называется\ }\]
\[\mathbf{четырехугольник,у\ которого\ }\]
\[\mathbf{только\ две}\mathbf{\ }\mathbf{противолежащие\ }\]
\[\mathbf{стороны\ параллельны.}\]
\[\mathbf{Эти\ параллельные\ стороны\ }\]
\[\mathbf{называются\ основаниями\ }\]
\[\mathbf{трапеции.}\]
\[\mathbf{Две\ другие\ называются\ }\]
\[\mathbf{боковыми\ сторонами.}\]
\[\boxed{\mathbf{11.}}\]
\[\mathbf{Трапеция,\ у\ которой\ боковые\ }\]
\[\mathbf{стороны\ равны,\ называется\ }\]
\[\mathbf{равнобедренной\ трапецией\ }\]
\[\left( \mathbf{реже\ равнобокой} \right)\mathbf{\text{.\ }}\]
\[\mathbf{Трапеция,\ имеющая\ прямые\ }\]
\[\mathbf{углы\ при\ боковой\ стороне,\ }\]
\[\mathbf{называется\ прямоугольной}\mathbf{.}\]
\[\boxed{\mathbf{12.}}\]
\[\mathbf{Прямоугольником\ называют\ }\]
\[\mathbf{параллелограмм,\ у\ которого\ }\]
\[\mathbf{все\ углы\ прямые.}\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{Прямоугольник\ обладает\ }\]
\[\mathbf{всеми\ свойствами\ }\]
\[\mathbf{параллелограмма.}\]
\[\boxed{\mathbf{13.}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - прямоугольник;\]
\[AC;BD - диагонали.\]
\[Доказать:\ \ \]
\[AC = BD.\]
\[Доказательство.\]
\[Так\ как\ прямоугольник\ \]
\[является\ параллелограммом,\ \]
\[то\ его\ его\ противолежащие\ \]
\[стороны\ равны:\ \ \]
\[AB = CD;\ \ BC = AD.\]
\[⊿BAD = ⊿CDA -\]
\[прямоугольные;\ \]
\[по\ двум\ катетам:\]
\[BA = CD;\]
\[AD - общий\ катет.\]
\[Отсюда\ следует\ равенство\ \]
\[их\ гипотенуз:\ \]
\[AC = BD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{14.}}\]
\[Дано:\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[AC = BD - диагонали.\]
\[Доказать:\ \]
\[ABCD - прямоугольник.\]
\[\mathbf{Доказательство:}\]
\[Противолежащие\ стороны\ и\ \]
\[углы\ у\ параллелограмма\ \]
\[равны:\]
\[\angle C = \angle A;\ \ \ \]
\[\angle B = \angle D;\ \ \]
\[AB = CD;\text{\ \ }\]
\[BC = AD.\]
\[⊿ABC = ⊿BAD - по\ третьему\ \]
\[признаку,\ отсюда:\]
\[\angle A = \angle B.\]
\[Таким\ образом:\ \]
\[\angle A = \angle B = \angle C = \angle D - то\ есть\ \]
\[в\ параллелограмме\ ABCD\ \]
\[все\ углы\ равны.\]
\[Следовательно,\ он\ является\ \]
\[прямоугольником.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{15.}}\]
\[\mathbf{Ромб - это\ параллелограмм,\ }\]
\[\mathbf{у\ которого\ все\ стороны\ равны.}\]
\[\boxed{\mathbf{16.}}\]
\[Дано:\]
\[ABCD - ромб.\]
\[Доказать:\]
\[AC\bot BD;\]
\[\angle ADO = \angle CDO.\]
\[Доказательство.\]
\[AD = DC - по\ определению\ \]
\[ромба:\]
\[⊿ADC - равнобедренный.\]
\[По\ свойству\ диагоналей\ \]
\[параллелограмма:\]
\[AO = OC.\]
\[DO - медиана;\ \]
\[⊿ADC - равнобедренный:\]
\[DO - высота\ и\ биссектриса\ \]
\[(по\ свойству\ равнобедренного\ \]
\[треугольника).\]
\[Следовательно:\]
\[AC\bot BD;\]
\[\angle ADO = \angle CDO.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{17.}}\]
\[Квадратом\ называется\ \]
\[прямоугольник,\ у\ которого\ все\ \]
\[стороны\ равны.\]
\[Основные\ свойства\ квадрата:\]
\[1)\ все\ стороны\ равны;\]
\[2)\ все\ углы\ равны\ и\ \]
\[составляют\ 90{^\circ};\]
\[3)\ диагонали\ равны\ и\ \]
\[перпендикулярны;\]
\[4)\ центры\ вписанной\ и\ \]
\[описанной\ окружности\ \]
\[совпадают\ и\ находятся\ \]
\[в\ точке\ пересечения\ \]
\[диагоналей.\]
\[\boxed{\mathbf{18.}}\]
\[Если\ в\ прямоугольнике\ две\ его\ \]
\[смежные\ стороны\ равны,\ то\ он\]
\[является\ квадратом.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - прямоугольник;\]
\[AB = BC.\]
\[Доказать:\]
\[ABCD - квадрат.\]
\[Доказательство.\]
\[ABCD - прямоугольник:\]
\[его\ противолежащие\ стороны\ \]
\[равны;\]
\[AB = BC;\]
\[CD = AB.\]
\[AB = BC = CD = AD.\]
\[Следовательно:\]
\[ABCD - квадрат\ \]
\[(по\ определению).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[Если\ в\ прямоугольнике\ \]
\[диагонали\ перпендикулярны,\ \]
\[то\ этот\ прямоугольник -\]
\[квадрат.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - прямоугольник;\]
\[AC\bot BD.\]
\[Доказать:\]
\[ABCD - квадрат.\]
\[Доказательство.\]
\[В\ треугольнике\ ABC:\]
\[AO = OC - по\ свойству\ \]
\[диагоналей\ прямоугольника;\]
\[BO - медиана\ \]
\[(по\ определению);\]
\[BO - высота\ (AC\bot BD).\]
\[⊿ABC - равнобедренный\ \]
\[с\ основанием\ AC:\]
\[по\ признаку\ равнобедренного\ \]
\[треугольника.\]
\[Отсюда:\]
\[AB = BC.\]
\[Следовательно:\]
\[ABCD - квадрат\ \]
\[(по\ первому\ признаку\ квадрата).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[Если\ в\ прямоугольнике\ одна\ из\ \]
\[диагоналей\ является\ \]
\[биссектрисой\ его\ угла,\ то\ такой\ \]
\[прямоугольник - квадрат.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - квадрат;\]
\[BD - диагональ;\]
\[BD - биссектриса\ \angle B.\]
\[Доказать:\]
\[ABCD - квадрат.\]
\[Доказательство.\]
\[BD - биссектриса\ \angle B:\]
\[\angle ABD = \angle DBC.\]
\[По\ свойству\ внутренних\ \]
\[накрест\ лежащих\ углов\ \]
\[при\ параллельных\ прямых:\]
\[\angle ADB = \angle ABD.\]
\[⊿BAD - равнобедренный:\]
\[AB = AD.\]
\[Следовательно:\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{19.}}\]
\[\mathbf{Если\ диагонали\ }\]
\[\mathbf{параллелограмма\ }\]
\[\mathbf{перпендикулярны,\ то\ этот}\]
\[\mathbf{параллелограмм - ромб.\ }\]
\[Дано:\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[AC\bot BD.\]
\[Доказать:\ \ \]
\[ABCD - ромб.\]
\[Доказательство.\]
\[Диагонали\ \text{AC\ }и\ BD\ \]
\[перепендикулярны\ и\ \]
\[пересекаются\ в\ точке\ \text{O.}\]
\[По\ свойству\ параллелограмма:\ \ \]
\[AO = OC;\text{\ \ }BO = OD.\]
\[2)\ ⊿AOB = ⊿BOC = ⊿COD =\]
\[= ⊿DOA - по\ двум\ катетам,\ \]
\[прямоугольные.\]
\[Отсюда\ следует\ равенство\ \]
\[их\ гипотенуз:\ \ \]
\[AB = BC = CD = DA.\]
\[3)\ Так\ как\ у\ параллелограмма\ \]
\[\text{ABCD\ }все\ стороны\ равны:\]
\[ABCD - ромб\ \]
\[(по\ определению).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\mathbf{Если\ диагональ\ }\]
\[\mathbf{параллелограмма\ является\ }\]
\[\mathbf{биссектрисой\ его\ угла,}\]
\[\mathbf{то\ этот\ параллелограмм -}\]
\[\mathbf{ромб.}\]
\[\mathbf{Дано}\mathbf{:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[AC - диагональ\ и\ биссектриса.\]
\[Доказать:\ \]
\[ABCD - ромб.\]
\[Доказательство:\]
\[Диагональ\ AC\ является\ \]
\[биссектрисой\ углов\ A\ и\ C:\]
\[\angle BAC = \angle CAD = \angle BCA =\]
\[= \angle ACD\ (так\ как\ \]
\[противолежащие\ углы\ \]
\[параллелограмма\ равны).\]
\[2)\ ⊿\text{ABC\ }и\ ⊿\text{CDA} -\]
\[равнобедренные;\ \ \]
\[с\ основанием\ AC:\]
\[так\ как\ углы\ при\ AC\ равны.\]
\[3)\ ⊿ABC = ⊿CDA - по\ второму\ \]
\[признаку.\]
\[Отсюда\ следует\ равенство\ их\ \]
\[боковых\ сторон:\ \ \]
\[AB = BC = CD = DA.\]
\[3)\ У\ параллелограмма\ \text{ABCD\ }\]
\[все\ стороны\ равны:\]
\[ABCD - ромб\ \]
\[(по\ определению).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{20.}}\]
\[\mathbf{Две\ точки\ называются\ }\]
\[\mathbf{симметричными\ относительно\ }\]
\[\mathbf{данной\ точки,\ если\ они\ лежат\ }\]
\[\mathbf{на\ одной\ прямой\ и\ на\ }\]
\[\mathbf{одинаковом\ расстоянии\ }\]
\[\mathbf{от\ данной}\mathbf{\ }\mathbf{точки}\mathbf{.}\]
\[\boxed{\mathbf{21.}}\]
\[\mathbf{Фигура\ называется\ }\]
\[\mathbf{симметричной\ относительно\ }\]
\[\mathbf{точки\ ,\ если\ для\ любой\ точки\ }\]
\[\mathbf{фигуры\ точка,\ симметричная\ }\]
\[\mathbf{ей,\ также\ принадлежит\ данной}\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{фигуре.\ }\]
\[\mathbf{Точка\ \ называется\ центром\ }\]
\[\mathbf{симметрии,\ а\ фигура\ обладает\ }\]
\[\mathbf{центральной\ симметрией}\mathbf{.}\]
\[\boxed{\mathbf{22.}}\]