\[\boxed{\mathbf{Вопросы\ для\ повторения\ к\ главе\ }\mathbf{V}\mathbf{.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\boxed{\mathbf{1.}}\]
\[Геометрическое\ место\ точек\ \]
\[(ГМТ)—\ это\ фигура,\ состоящая\ \]
\[из\ всех\ точек\ плоскости,\]
\[удовлетворяющих\ \]
\[определённому\ условию.\]
\[Примеры.\]
\[1)\ Геометрическим\ местом\ \]
\[точек,\ равноудалённых\ от\ двух\ \]
\[данных\ точек,\ является\ \]
\[серединный\ перпендикуляр\ к\ \]
\[отрезку,\ соединяющему\ \]
\[эти\ точки.\]
\[2)\ Геометрическим\ местом\ \]
\[точек,\ равноудалённых\ от\ \]
\[сторон\ \]
\[неразвёрнутого\ угла,\ является\ \]
\[биссектриса\ этого\ угла.\]
\[3)\ Геометрическим\ местом\ \]
\[точек,\ удалённых\ от\ данной\ \]
\[прямой\ на\ расстояние\ h,\ \]
\[состоит\ из\ двух\ прямых,\ \]
\[параллельных\ данной\ прямой\ \]
\[и\ отстоящих\ от\ неё\ на\ h.\]
\[4)\ Геометрическим\ местом\ \]
\[точек,\ равноудалённых\ от\ \]
\[двух\ параллельных\ прямых,\ \]
\[является\ прямая,\ параллельная\ \]
\[этим\ прямым\ и\ проходящая\ \]
\[через\ середину\ их\ общего\ \]
\[перпендикуляра.\]
\[\boxed{\mathbf{2.}}\]
\[Теорема:\]
\[биссектриса\ угла\ треугольника\ \]
\[делит\ его\ противоположную\ \]
\[сторону\ в\ пропорции,\ равной\ \]
\[отношению\ прилежащих\ к\ \]
\[данному\ углу\ сторон.\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\]
\[AD - биссектриса\ \angle A.\]
\[Доказать:\]
\[\frac{\text{BD}}{\text{CD}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}.\]
\[Доказательство.\]
\[Построим\ высоту\ AH\ \]
\[треугольника.\]
\[Найдем\ площади\ \]
\[треугольников\ ABD;ACD:\]
\[S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2}AH \cdot BD;\]
\[S_{\text{ACD}} = \frac{1}{2}AH \cdot CD.\]
\[Получим\ соотношение:\]
\[\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ACD}}} = \frac{\frac{1}{2}AH \cdot BD}{\frac{1}{2}AH \cdot CD} = \frac{\text{BD}}{\text{CD}}.\]
\[Площади\ треугольников\ \]
\[можно\ найти\ другим\ способом:\]
\[S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin\alpha;\]
\[S_{\text{ACD}} = \frac{1}{2}AD \cdot AC \cdot \sin\alpha.\]
\[Тогда\ соотношение:\]
\[\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ACD}}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2}AD \cdot AC \cdot \sin\alpha} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}.\]
\[Следовательно:\]
\[\frac{\text{BD}}{\text{CD}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{3.}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathbf{Доказать:\ \ }\]
\[\mathbf{все\ три\ биссектрисы\ }\]
\[\mathbf{треугольника\ пересекаются}\]
\[\mathbf{\ в\ одной\ точке.}\]
\[\mathbf{Доказател}\mathbf{ьство}\mathbf{.}\]
\[1)\ Проведем\ биссектрисы\ из\ \]
\[углов\ A\ и\ B\ произвольного\ \]
\[треугольника\ ABC,\ они\ \]
\[пересекутся\ в\ некоторой\ \]
\[точке\ \text{O.}\]
\[2)\ Опустим\ из\ точки\ \text{O\ }\]
\[перпендикуляры\ OD,\ OE\ и\ \text{OF\ }\]
\[на\ стороны\ \mathrm{\Delta}ABC\ как\ показано\ \]
\[на\ рисунке.\]
\[3)\ Прямоугольные\ \]
\[треугольники\ \text{AOD\ }и\ \text{AOE\ }\]
\[равны\ по\ гипотенузе\ и\]
\[острому\ углу\ (AO - общая\ \]
\[гипотенуза\ и\ \angle OAD = \angle OAE\ \]
\[так\ как\ AO - биссектриса\ \]
\[\angle OAE.\]
\[4)\ Из\ равенства\ треугольников\ \]
\[следует\ равенство\ их\ \]
\[катетов\ \text{OD\ }и\ \text{OE.}\]
\[5)\ Аналогично,\ равенство\ \]
\[катетов\ \text{OE\ }и\ \text{OF\ }из\ равенства\ \]
\[треугольников\ BOE\ и\ BOF,\ \]
\[значит,\ катеты\ OD,\ OF\ и\ \text{OE\ }\]
\[равны\ между\ собой.\]
\[6)\ Прямоугольные\ \]
\[треугольники\ COD\ и\ \text{COF\ }\]
\[равны\ по\ гипотенузе\ иькатету\ \]
\[отсюда:\ \ \angle OCD = \angle OCF.\]
\[7)\ Следовательно,\ луч\ CO -\]
\[биссектриса\ угла\ \text{C\ }\]
\[треуголььника\ \text{ABC.}\]
\[8)\ Таким\ образом,\ все\ \]
\[биссектрисы\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }\]
\[пересекаются\ в\ одной\ точке.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{4.}}\]
\[\mathbf{Серединный\ перпендикуляр\ }\]
\[\mathbf{к\ отрезку\ —\ это\ прямая,\ }\]
\[\mathbf{перпендикулярная\ данному\ }\]
\[\mathbf{отрезку\ и\ проходящая\ через\ }\]
\[\mathbf{его\ середину.}\]
\[\boxed{\mathbf{5.}}\]
\[Теорема:\]
\[каждая\ точка\ серединного\ \]
\[перпендикуляра\ к\ отрезку\ \]
\[равноудалена\ от\ концов\ этого\ \]
\[отрезка.\]
\[Дано:\ \]
\[a\bot AB;\]
\[O - точка\ пересечения\ \text{a\ }и\ AB;\]
\[AO = OB;\]
\[M \in a.\]
\[Доказать:\]
\[AM = MB.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Если\ точка\ M\ совпадает\ \]
\[с\ точкой\ O:\]
\[AM = MB - так\ как\ AO = OB.\]
\[2)\ Если\ M\ и\ O - различные\ \]
\[точки.\]
\[⊿OAM = ⊿OMB - по\ двум\ \]
\[катетам\ \]
\[(a\bot AB;прямоугольные):\]
\[AO = OB - по\ условию;\]
\[OM - общая\ сторона.\]
\[3)\ В\ равных\ треугольниках\ \]
\[соответствующие\ стороны\ \]
\[равны:\]
\[AM = MB.\]
\[Следовательно:\]
\[каждая\ точка\ серединного\ \]
\[перпендикуляра\ к\ отрезку\ \]
\[равноудалена\ от\ концов\ этого\ \]
\[отрезка.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{6.}}\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\]
\[m;n;k - серединные\ \]
\[перпендикуляры.\]
\[Доказательство.\]
\[Сначала\ докажем,\ что\ \]
\[серединные\ перпендикуляры\ \]
\(к\ двум\ сторонам\) \(треугольника\ \)
\[пересекаются\ в\ одной\ точке.\]
\[Предположим,\ что\ m\ и\ \text{k\ }не\ \]
\[пересекаются;\ \ m \parallel k.\]
\[AC\bot k;\ \ \ k \parallel m:\]
\[AC\bot m.\]
\[AC\bot m;\ \ AB\bot m:\]
\[AC \parallel AB.\]
\[Но\ прямые\ AB\ и\ \text{AC\ }\]
\[пересекаются\ в\ точке\ A:\]
\[пришли\ к\ противоречию.\]
\[Следовательно,\ прямые\ \text{m\ }и\ \]
\[k - пересекаются.\]
\[По\ свойству\ серединного\ \]
\[перпендикуляра\ к\ отрезку\ \]
\[AO = OC;\ AO = BO.\ \]
\[Следовательно,\ и\ OC = BO.\ \]
\[Значит,\ точка\ O\ равноудалена\ \]
\[от\ концов\ отрезка\ BC.\]
\[Следовательно,\ лежит\ на\ \]
\[серединном\ перпендикуляре\ n\ \]
\[к\ этому\ отрезку.\ \]
\[Таким\ образом,\ все\ три\ \]
\[серединных\ перпендикуляра\ \]
\[m,\ n,\ k\ к\ сторонам\ \]
\[треугольника\ ABC\ \]
\[пересекаются\ в\ одной\ точке\ O.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{7.}}\]
\[Окружность\ с\ центром\ О\ и\ \]
\[радиусом\ R\ –\ это\ фигура,\ \]
\[которая\ состоит\ из\ всех\ точек\ \]
\[плоскости\ равноудалённых\ от\ \]
\[точки\ О\ (центр\ окружности)\]
\[на\ расстояние\ R.\]
\[Хорда\ окружности\ —\ отрезок,\ \]
\[соединяющий\ две\ любые\ её\ \]
\[точки.\]
\[Диаметр\ окружности\ —\ это\ \]
\[хорда,\ которая\ проходит\ через\ \]
\[центр\ окружности.\]
\[\boxed{\mathbf{8.}}\]
\[\mathbf{Диаметр\ окружности,\ }\]
\[\mathbf{перпендикулярный\ хорже,\ }\]
\[\mathbf{делит\ эту\ хорду\ пополам.}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[окружность\ (O;r);\]
\[CD - диаметр;\]
\[AB - хорда.\]
\[Доказать:\]
\[M - середина\ \text{AB.}\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Проведем\ радиусы\ OA\ и\ \text{OB.}\]
\[2)\ Треугольник\ AOB -\]
\[равнобедренный:\]
\[AO = OB = r.\]
\[3)\ В\ равнобедренном\ \]
\[треугольнике\ высота\ является\ \]
\[медианой:\]
\[OM - медиана.\]
\[4)\ Следовательно:\]
\[AM = MB;\]
\[M - середина\ хорды\ \text{AB.}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{9.}}\]
\[\mathbf{Из\ этого\ следует,\ например,\ }\]
\[\mathbf{что\ если\ центр\ описанной\ }\]
\[\mathbf{окружности\ лежит\ на\ стороне\ }\]
\[\mathbf{треугольника,\ то\ угол\ }\]
\[\mathbf{напротив\ этой\ стороны\ —\ }\]
\[\mathbf{прямой.}\]
\[\mathbf{Если\ центр\ описанной\ }\]
\[\mathbf{окружности\ лежит\ на\ }\]
\[\mathbf{диагонали\ четырехугольника,\ }\]
\[\mathbf{то\ угол\ напротив\ этой\ }\]
\[\mathbf{диагонали\ —\ прямой.}\]
\[\boxed{\mathbf{10.}}\]
\[1)\ Пусть\ даны\ окружность\ \]
\[с\ центром\ в\ точке\ \text{O\ }и\ прямая\ \]
\[AC\ пересекает\ окружность\ в\ \]
\[точках\ A,\ B\ и\ \text{C.}\]
\[2)\ Отрезки\ AO,\ OB\ и\ \text{OC\ }равны\ \]
\[так\ как\ являются\ радиусами.\]
\[3)\ Таким\ образом,\ \]
\[треугольники\ \text{AOB\ }и\ \text{BOC\ }\]
\[равнобедренные\ с\ основанием\ \]
\[\text{AB\ }и\ AC,\ что,\ как\ мы\ знаем,\ \]
\[невозможно.\]
\[Следовательно:\]
\[прямая\ и\ окружность\ не\ могут\ \]
\[пересекаться\ более\ чем\ в\ двух\ \]
\[точках.\]
\[Ответ:\ \ не\ могут.\]
\[\boxed{\mathbf{11.}}\]
\[\mathbf{Секущая\ к\ окружности\ —\ это\ }\]
\[\mathbf{прямая,\ которая\ пересекает\ ее\ }\]
\[\mathbf{в\ двух\ местах,то\ есть\ имеет\ }\]
\[\mathbf{с\ ней\ две\ общие\ точки.}\]
\[\boxed{\mathbf{12.}}\]
\[\mathbf{Прямая,\ имеющая\ с\ }\]
\[\mathbf{окружностью\ только\ одну\ }\]
\[\mathbf{общую\ точку\ называется\ }\]
\[\mathbf{касательной\ к\ окружности.}\]
\[\mathbf{Общая\ точка\ прямой\ и\ }\]
\[\mathbf{окружности\ называется\ }\]
\[\mathbf{точкой\ касания.}\]
\[\boxed{\mathbf{13.}}\]
\[\mathbf{Теорема:}\]
\[касательная\ к\ окружности\ \]
\[перпендикулярна\ к\ радиусу,\ \]
\[проведенному\ в\ точку\ касания.\]
\[Дано:\]
\[окружность\ (O;R);\]
\[R = OA;\]
\[a - касательная;\]
\[A - точка\ касания.\]
\[Доказать:\]
\[a\bot OA.\]
\[Доказательство.\]
\[Доказательство\ от\ противного.\]
\[Предположим,\ что\ радиус\ и\ \]
\[прямая\ \text{a\ }не\ перпендикулярны.\]
\[Опустим\ из\ точки\ \text{O\ }на\ \]
\[прямую\ \text{a\ }перпендикуляр\ \text{OB.}\]
\[OA - наклонная,\ проведенная\ \]
\[из\ точки\ \text{O\ }на\ прямую\ \text{a.}\]
\[По\ свойству\ перпендикуляра\ и\ \]
\[наклонной,\ любая\ наклонная\ \]
\[больше\ перпендикуляра:\]
\[OA > OB.\]
\[Получается,\ расстояние\ от\ \]
\[точки\ O\ до\ прямой\ a\ —\ длина\ \]
\[перпендикуляра\ OB\ —\ меньше\ \]
\[радиуса.\ \]
\[Из\ этого\ следует,\ что\ прямая\ a\ \]
\[и\ окружность\ имеют\ две\ общие\ \]
\[точки.\]
\[Противоречие\ получили,\ так\ \]
\[как\ предположили,\ что\ \]
\[радиус\ OA\ и\ касательная\ a\ \]
\[не\ перпендикулярны.\ \]
\[Значит,\ касательная\ \]
\[перпендикулярна\ к\ радиусу,\ \]
\[проведенному\ в\ точку\ касания:\]
\[a\bot OA.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{14.}}\]
\[\mathbf{Отрезки\ касательных\ }\]
\[\mathbf{к\ окружности,\ проведенные\ из\ }\]
\[\mathbf{одной\ точки,\ равны\ и\ }\]
\[\mathbf{составляют\ равные\ углы\ }\]
\[\mathbf{с\ прямой,\ проходящей\ через\ }\]
\[\mathbf{эту\ точку.}\]
\[\boxed{\mathbf{15.}}\]
\[\mathbf{Обратная\ теорема:}\]
\[\mathbf{если\ прямая\ проходит\ через\ }\]
\[\mathbf{конец\ радиуса,\ лежащий\ на\ }\]
\[\mathbf{окружности,\ и\ }\]
\[\mathbf{перпендикулярна\ к\ этому\ }\]
\[\mathbf{радиусу,\ то\ она\ является\ }\]
\[\mathbf{касательной.}\]
\[Дано:\]
\[окружность\ (O;r);\]
\[OA = r;\]
\[p - прямая,\ проходящая\ \]
\[через\ точку\ A;\]
\[p\bot OA.\]
\[Доказать:\]
\[p - касательная.\]
\[Доказательство.\]
\[Расстояние\ от\ центра\ \]
\[окружности\ до\ прямой\ равно\ \]
\[длине\ перпендикуляра,\ а\ это\ \]
\[радиус\ окружности\ OA.\ \]
\[Следовательно,\ прямая\ и\ \]
\[окружность\ имеют\ только\ \]
\[одну\ общую\ точку.\ \]
\[Это\ и\ означает,\ что\ прямая\ p\ \]
\[является\ касательной\ к\ \]
\[окружности.\ \]
\[Теорема\ доказана.\]
\[\boxed{\mathbf{16.}}\]
\[\mathbf{Отметить\ на\ окружности\ }\]
\[\mathbf{нужную\ точку.}\]
\[\mathbf{Провести\ отрезок\ из\ центра\ }\]
\[\mathbf{окружности\ к\ данной\ точке.}\]
\[\mathbf{Проводим\ прямую,\ }\]
\[\mathbf{перпендикулярную\ данному\ }\]
\[\mathbf{отрезку\ }\left( \mathbf{радиусу} \right)\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Она\ и\ будет\ искомой\ }\]
\[\mathbf{касательной\ к\ окружности.}\]
\[\boxed{\mathbf{17.}}\]
\[\mathbf{Если\ отрезок\ }\left( \mathbf{луч} \right)\]
\[\mathbf{принадлежит\ прямой,\ }\]
\[\mathbf{касательной\ к\ окружности,\ \ }\]
\[\mathbf{и\ точка\ касания\ является\ }\]
\[\mathbf{точкой\ отрезка\ }\left( \mathbf{луча} \right)\mathbf{,\ }\]
\[\mathbf{то\ говорят,\ что\ данный\ отрезок\ \ }\]
\[\left( \mathbf{луч} \right)\mathbf{является\ касательным\ }\]
\[\mathbf{к\ окружности.\ }\]
\[\boxed{\mathbf{18.}}\]
\[\mathbf{Окружность\ называется\ }\]
\[\mathbf{вписанной\ в\ угол,\ если\ она\ }\]
\[\mathbf{касается\ сторон\ угла.}\]
\[\mathbf{В\ угол\ можно\ вписать\ }\]
\[\mathbf{бесконечно\ много\ }\]
\[\mathbf{окружностей;}\]
\[\mathbf{их\ центры\ будут\ находиться\ }\]
\[\mathbf{на\ биссектрисе\ угла.}\]
\[\boxed{\mathbf{19.}}\]
\[\mathbf{Вписанная\ в\ треугольник\ }\]
\[\mathbf{окружность\ —\ окружность\ }\]
\[\mathbf{внутри\ треугольника,\ }\]
\[\mathbf{касающаяся\ всех\ его\ сторон;\ }\]
\[\mathbf{наибольшая\ окружность,\ }\]
\[\mathbf{которая\ может\ находиться\ }\]
\[\mathbf{внутри\ треугольника.\ }\]
\[\mathbf{Описанным\ около\ окружности\ }\]
\[\mathbf{треугольником\ называют\ }\]
\[\mathbf{такой\ треугольник,\ все\ три\ }\]
\[\mathbf{стороны\ которого\ являются\ }\]
\[\mathbf{касательными\ к\ данной\ }\]
\[\mathbf{окружности\ (другими\ словами,\ }\]
\[\mathbf{все\ стороны\ которого\ }\]
\[\mathbf{касаются\ окружности,\ то\ есть\ }\]
\[\mathbf{имеют\ с\ ней\ одну\ общую\ }\]
\[\mathbf{точку).\ }\]
\[\boxed{\mathbf{20.}}\]
\[\mathbf{Теорема:}\]
\[\mathbf{в\ любой\ треугольник\ можно\ }\]
\[\mathbf{вписать\ окружность,\ причем\ }\]
\[\mathbf{только\ одну.}\]
\[\mathbf{Дано::}\]
\[\mathbf{Доказать:\ \ }\]
\[\mathbf{в\ любой\ треугольник\ можно\ }\]
\[\mathbf{вписать\ окружность.}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ ABC - данный\ \]
\[треугольник.\]
\[2)\ Проведем\ биссектрисы\ \]
\[углов\ \text{A\ }и\ \text{B\ }они\ пересекутся\ \]
\[в\ некоторой\ точке\ O,\ \]
\[тогда\ \ \angle CAO = \angle OAB\ \ и\ \ \]
\[\angle CBO = \angle OBA.\]
\[3)\ Из\ точки\ \text{O\ }опустим\ \]
\[перпендикуляры\ OA_{1},\ OB_{1}\ и\ \]
\[OC_{1}\ на\ стороны\]
\[треугольника\ \text{ABC.}\]
\[4)\ Прямоугольные\ \]
\[треугольники\ \text{AO}B_{1}\ и\ \text{AO}C_{1}\ \]
\[равны\ по\ гипотенузе\]
\[и\ острому\ углу\ \]
\[(AO - общая\ гипотенуза),\ \]
\[отсюда:\ \ OB_{1} = OC_{1}.\]
\[5)\ Прямоугольные\ \]
\[треугольники\ \text{BO}A_{1}\ и\ \text{BO}C_{1}\ \]
\[равны\ по\ гипотенузе\ и\ острому\ \]
\[углу\ (BO - общая\ гипотенуза),\ \]
\[отсюда:\ \ OC_{1} = OA_{1}.\]
\[6)\ Таким\ образом,\ точки\ A_{1},\ B_{1}\ \]
\[и\ C_{1}\ равноудалены\ от\ точки\ \text{O.\ }\]
\[Значит,они\ принадлежат\ \]
\[одной\ окружности,\ а\ стороны\ \]
\[треугольника\ ABC\ являются\ \]
\[касательными\ к\ этой\ \]
\[окружности,\ то\ есть\ \]
\[в\ треугольник\ ABC\ можно\ \]
\[вписать\ окружность.\]
\[7)\ Прямоугольные\ \]
\[треугольники\ \text{CO}B_{1}\ и\ \text{CO}A_{1}\ \]
\[равны\ по\ катету\ и\ гипотенузе\ \]
\[(CO - общая\ гипотенуза),\ \]
\[отсюда:\ \angle B_{1}CO = \angle A_{1}\text{CO.}\]
\[То\ есть:\]
\[точка\ \text{O\ }лежит\ на\ биссектрисе\ \]
\[угла\ \text{C.}\]
\[8)\ Таким\ образом,\ все\ \]
\[биссектрисы\ треугольника\ \]
\[пересекаются\ в\ одной\ точке.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[Так\ как\ центр\ вписанной\ \]
\[окружности\ является\ точкой\ \]
\[пересечения\ биссектрис\ \]
\[треугольника,\ то\ он\ может\ \]
\[быть\ только\ один.\]
\[\boxed{\mathbf{21.}}\]
\[\mathbf{Окружность\ называют\ }\]
\[\mathbf{описанной\ около\ }\]
\[\mathbf{треугольника,\ если\ все\ }\]
\[\mathbf{вершины\ треугольника\ }\]
\[\mathbf{расположены\ на\ окружности.\ }\]
\[\mathbf{Её\ центр\ равноудалён\ от\ всех\ }\]
\[\mathbf{вершин,\ то\ есть\ должен\ }\]
\[\mathbf{находиться\ в\ точке\ }\]
\[\mathbf{пересечения\ серединных\ }\]
\[\mathbf{перпендикуляров\ к\ сторонам\ }\]
\[\mathbf{треугольника.}\]
\[\mathbf{Треугольник,\ вокруг\ которого\ }\]
\[\mathbf{описана\ окружность,\ }\]
\[\mathbf{называется\ вписанным\ в\ эту\ }\]
\[\mathbf{окружность.}\]
\[\boxed{\mathbf{22.}}\]
\[\mathbf{Теорема:}\]
\[\mathbf{около\ любого\ треугольника\ }\]
\[\mathbf{можно\ описать\ окружность,\ }\]
\[\mathbf{причем\ только\ одну.}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathbf{Доказать:\ \ }\]
\[\mathbf{о}коло\ любого\ треугольника\ \]
\[можно\ описать\ окружность\]
\[и\ только\ одну\text{.\ \ }\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Обозначим\ через\ \text{O\ }точку\ \]
\[пересечения\ серединных\ \]
\[перпендикуляров\ к\ сторонам\ \]
\[\text{AC\ }и\ \text{BC\ }данного\ треугольника.\]
\[2)\ По\ теореме\ о\ \]
\[геометрическом\ месте\ точек,\ \]
\[равноудаленных\ от\ двух\]
\[данных\ точек,\ точка\ \text{O\ }\]
\[равноудалена\ как\ от\ \]
\[вершин\ \text{A\ }и\ C,\ так\ и\ от\]
\[вершин\ \text{B\ }и\ \text{C.}\]
\[3)\ Значит,\ точка\ O\ \]
\[равноудалена\ от\ всех\ вершин\ \]
\[треугольника\ ABC,причем\ \]
\[точка\ O\ лежит\ на\ серединных\ \]
\[перпендикулярах\ к\ сторонам\ \]
\[\text{AC\ }и\ \text{BC.}\]
\[Значит,\ около\ любого\ \]
\[треугольника\ можно\ описать\ \]
\[окружность.\]
\[4)\ Так\ как\ серединные\ \]
\[перпендикуляры\ пересекаются\ \]
\[только\ в\ одной\ точке,\ то\ такая\ \]
\[окружность\ единственная.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{23.}}\]
\[\mathbf{Две\ точки,\ лежащие\ на\ одном\ }\]
\[\mathbf{перпендикуляре\ к\ данной\ }\]
\[\mathbf{прямой,\ по\ разные\ стороны\ и\ }\]
\[\mathbf{на\ одинаковом\ расстоянии\ }\]
\[\mathbf{от\ неё,\ называются\ }\]
\[\mathbf{симметричными\ относительно\ }\]
\[\mathbf{этой\ прямой.}\]
\[\boxed{\mathbf{24.}}\]
\[\mathbf{Фигура\ называется}\]
\[\mathbf{симметричной\ относительно\ }\]
\[\mathbf{если\ для\ каждой\ точки\ фигуры\ }\]
\[\mathbf{симметричная\ ей\ точка\ }\]
\[\mathbf{относительно\ прямой\ также\ }\]
\[\mathbf{принадлежит\ этой\ фигуре.\ }\]
\[\mathbf{При\ этом\ прямая\ называется\ }\]
\[\mathbf{осью\ симметрии\ фигуры.}\]
\[\boxed{\mathbf{25.}}\]
\[\mathbf{Две\ фигуры\ называются\ }\]
\[\mathbf{симметричными\ относительно\ }\]
\[\mathbf{прямой,\ если\ для\ любой\ точки\ }\]
\[\mathbf{одной\ фигуры\ симметричная\ }\]
\[\mathbf{ей\ }\left( \mathbf{относительно\ прямой} \right)\]
\[\mathbf{точка\ принадлежит\ другой\ }\]
\[\mathbf{фигуре.\ }\]
\[\boxed{\mathbf{26.}}\]
\[Чтобы\ построить\ точку,\ \]
\[симметричную\ некоторой\ \]
\[точке\ A\ относительно\]
\[прямой\ a,\ надо:\]
\[1)\ провести\ из\ точки\ \text{A\ }\]
\[к\ прямой\ перпендикуляр\ OA;\]
\[2)\ на\ продолжении\ \]
\[перпендикуляра,\ с\ другой\ \]
\[стороны\ от\ прямой\ a;\]
\[отложить\ отрезок\ OA_{1},\ равный\ \]
\[отрезку\ OA;\]
\[3)\ полученная\ точка\ A_{1}\ \]
\[симметрична\ точке\ A\ \]
\[относительно\ прямой\ \text{a.}\]
\[\boxed{\mathbf{27.}}\]
\[Чтобы\ построить\ ось\ \]
\[симметрии,\ двух\ данных\ точек,\ \]
\[надо:\]
\[1)\ соединить\ точки\ отрезком;\]
\[2)\ найти\ середину\ \]
\[полученного\ отрезка;\]
\[3)\ провести\ через\ нее\ \]
\[перпендикулярную\ прямую.\]
\[\boxed{\mathbf{28.}}\]
\[\mathbf{Нет.}\]
\[\mathbf{Если\ одна\ прямая\ пересекает\ }\]
\[\mathbf{ось\ симметрии,\ то\ и\ вторая\ }\]
\[\mathbf{должна\ пересекать\ ось\ }\]
\[\mathbf{симметрии,\ так\ как\ одна\ из\ }\]
\[\mathbf{точек\ первой\ прямой}\]
\[\mathbf{будет\ находиться\ на\ оси\ }\]
\[\mathbf{симметрии,\ и\ будет\ }\]
\[\mathbf{симметрична\ сама\ себе.}\]
\[\boxed{\mathbf{29.}}\]
\[\mathbf{Да,\ расстояния\ между\ }\]
\[\mathbf{симметричными\ точками\ }\]
\[\mathbf{равны,\ поэтому\ равны\ и\ }\]
\[\mathbf{расстояния.}\]
\[\boxed{\mathbf{30.}}\]
\[Построить\ точку,\ \]
\[симметричную\ точке\ M\ \]
\[относительно\ прямой\ b:\]
\[\textbf{а)}\ с\ помощью\ циркуля\ и\ \]
\[линейки.\]
\[1)\ провести\ перпендикуляр\ из\ \]
\[точки\ \text{M\ }к\ прямой\ b;отметить\ \]
\[в\ месте\ пересечения\ точку\ O;\]
\[2)\ с\ помощью\ циркуля\ из\ \]
\[точки\ пересечения\ прямой\ \]
\[с\ окружностью\ начертить\ \]
\[окружность,\ радиусом = MO;\]
\[3)\ на\ продолжении\ \]
\[перпендикуляра\ (в\ месте\ его\ \]
\[пересечения\ с\ окружностью)\ \ \]
\[отметить\ точку\ M_{1}.\]
\[\mathbf{б)\ с\ помощью\ одного\ циркуля.\ }\]
\[1)\ начертить\ окружность\ \]
\[произвольного\ радиуса\ \]
\[с\ центром\ в\ точке\ M\ так,\ чтобы\ \]
\[она\ пересекала\ прямую\ b;\]
\[2)\ обозначить\ точки\ \]
\[пересечения\ окружности\ \]
\[с\ прямой\ буквами:\]
\[например,\ \text{B\ }и\ C;\]
\[3)\ начертить\ окружности\ \]
\[с\ центрами\ в\ точках\ \text{B\ }и\ \text{C\ }\]
\[таким\ же\ радиусом,как\ и\ \]
\[первую\ окружность;\]
\[4)\ обозначить\ точку\ \]
\[пересечения\ окружностей\ \]
\[буквой\ M_{1}\text{.\ }\]