Решебник по геометрии 7 класс Мерзляк Задание 412

\[\boxed{\mathbf{412}.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[BK - биссектриса;\]

\[\mathrm{\Delta}ABK;\ \]

\[\mathrm{\Delta}KBC - равнобедренные.\]

\[Найти:\]

\[\angle A;\ \angle B;\ \angle C.\]

\[Решение.\]

\[Первый\ случай.\]

\[Так\ как\ треугольники\ \text{ABK\ }и\ \]

\[KBC - равнобедренные:\]

\[AK = BK = KC;\ \ \]

\[\angle ABK = \angle CBK = \angle BAK =\]

\[= \angle BCK.\]

\[1)\ Пусть\ \angle ABK = x;\ \ \]

\[\angle CBK = \angle BAK = \angle BCK = x;\ \ \]

\[\angle ABC = 2x.\]

\[Сумма\ углов\ треугольника\ \]

\[равна\ 180{^\circ}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\angle A + \angle B + \angle C = 180\]

\[2x + x + x = 180\]

\[4x = 180\]

\[x = 45{^\circ} - \angle BAC;\ \ \angle BCA.\]

\[\angle B = 2 \cdot 45 = 90{^\circ}.\]

\[Второй\ случай.\]

\[x + 2x + 2x = 180\]

\[5x = 180\]

\[x = 36{^\circ} - \angle B.\]

\[\angle A = \angle C = 2x = 72{^\circ}.\]

\[Ответ:45{^\circ};45{^\circ};90{^\circ}\ \ или\ \ \]

\[36{^\circ};36{^\circ};72{^\circ}.\]