Решебник по геометрии 7 класс Мерзляк Задание 403

\[\boxed{\mathbf{403}.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AB = BC;\]

\[\angle A = 2\angle B;\]

\[AM - биссектриса.\]

\[Доказать:\]

\[BM = AC.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Пусть\ \angle B = x;\ \ \]

\[\angle A = \angle C = 2x.\]

\[Сумма\ углов\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[\angle A + \angle B + \angle C = 180{^\circ}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[2x + x + 2x = 180\]

\[5x = 180\]

\[x = 36{^\circ} - \angle B.\]

\[\angle A = \angle C = 2x = 72{^\circ}.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}ABM - равнобедренный,\ \]

\[с\ основанием\ AB:\]

\[\angle B = 36{^\circ};\]

\[\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A = 36{^\circ}.\]

\[Отсюда:\]

\[BM = AM.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}ACM - равнобедренный,\]

\[с\ основанием\ MC:\]

\[\angle C = 72{^\circ};\]

\[\angle AMC = \angle BAM + \angle B =\]

\[= 36 + 36 = 72{^\circ}.\]

\[Отсюда:\]

\[AC = AM.\]

\[4)\ Получаем:\]

\[AC = BM.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]