Решебник по геометрии 7 класс Мерзляк Задание 347

\[\boxed{\mathbf{347}.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный;\]

\[AB = BC;\]

\[BD - биссектриса;\]

\[ME \parallel AB;\]

\[E \in AC;\]

\[MF \parallel BC;\]

\[F \in AC.\]

\[Доказать:\]

\[DE = DF.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ AB \parallel ME;\ \ BD - секущая:\]

\[\angle ABD =\]

\[= \angle EMD - соответственные.\]

\[BC \parallel MF;\ \ BD - секущая:\]

\[\angle CBD =\]

\[= \angle FMD - соответственные.\]

\[BD - биссектриса:\]

\[\angle ABD = \angle CBD.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle EMD = \angle FMD.\]

\[Значит:\]

\[MD - биссектриса\ \]

\[треугольника\ \text{MEF.}\]

\[2)\ AB \parallel ME;AC - секущая:\]

\[\angle BAC =\]

\[= \angle MEF - соответственные.\]

\[BC \parallel MF;\ \ AC - секущая:\]

\[\angle BCA =\]

\[= \angle MFE - соответственные.\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный:\]

\[\angle BAC = \angle BCA.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle MEF = \angle MFE.\]

\[3)\ \ \mathrm{\Delta}MEF - равнобедренный,\ \]

\[с\ основанием\ EF:\]

\[MD - не\ только\ биссектриса,\ \]

\[но\ и\ медиана.\]

\[Следовательно:\]

\[DE = DF.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]