Решебник по геометрии 7 класс Мерзляк Задание 265

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\ \ \]

\[AB = A_{1}B_{1};\]

\[BC = B_{1}C_{1};\]

\[AD = A_{1}D_{1};\]

\[AD - медиана\ \mathrm{\Delta}ABC;\]

\[A_{1}D_{1} - медиана\ \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]

\[Доказать:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ На\ прямых\ \text{BD\ }и\ B_{1}D_{1}\ \]

\[отложим\ отрезки:\]

\[DE = BD;\ \ \]

\[D_{1}E_{1} = B_{1}D_{1}.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}ADB = \mathrm{\Delta}CDE - по\ первому\ \]

\[признаку:\]

\[AD = DC;\]

\[\angle ADB = \angle CDE - вертикальные.\]

\[Отсюда:\]

\[CE = AB.\]

\[3)\ Аналогично\ для\ \mathrm{\Delta}A_{1}D_{1}B_{1}\ и\ \mathrm{\Delta}C_{1}D_{1}E_{1}:\]

\[C_{1}E_{1} = A_{1}B_{1};\]

\[4)\ Рассмотрим\ треугольники\ \text{BEC\ }и\ B_{1}E_{1}C_{1}:\]

\[CE = AB = A_{1}B_{1} = C_{1}E_{1};\]

\[BE = 2BD = 2B_{1}D_{1} = B_{1}E_{1};\]

\[\mathrm{\Delta}BEC = \mathrm{\Delta}B_{1}E_{1}C_{1} - по\ третьему\ признаку;\]

\[CD = C_{1}D_{1};\]

\[5)\ Рассмотрим\ треугольники\ \text{ABC\ }и\ A_{1}B_{1}C_{1}:\]

\[AC = 2CD = 2C_{1}D_{1} = A_{1}C_{1};\]

\[\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1} - по\ третьему\ признаку;\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]