Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 853

\[\boxed{\mathbf{853.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[A_{1},B_{1},C_{1} \in прямой;\]

\[A_{2},B_{2},C_{2} - симметричны\ \]

\[точкам\ A_{1},B_{1},C_{1}\]

\[относительно\ середин\ сторон.\]

\[Доказать:\]

\[A_{2},B_{2},C_{2} \in прямой.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Так\ как\ точки\ A_{2},B_{2},C_{2}\ \]

\[симметричны\ точкам\ A_{1},B_{1},C_{1}\text{\ \ }\]

\[относительно\ середин\ сторон:\ \]

\[BA_{2} = CA_{1}\ и\ BA_{1} = CA_{2};\ \ \]

\[BC_{1} = AC_{2}\ \ и\ \ BC_{2} = AC_{1};\]

\[\ AB_{2} = CB_{1}\ и\ CB_{2} = AB_{1}.\]

\[2)\ \ Точки\ \ A_{1},B_{1}\ и\ C_{1}\ лежат\ на\ \]

\[одной\ прямой.\]

\[По\ теореме\ Менелая:\ \ \]

\[\frac{AC_{2}}{BC_{2}} \bullet \frac{BA_{2}}{CA_{2}} \bullet \frac{CB_{2}}{AB_{2}} =\]

\[= \frac{AC_{1}}{BC_{1}} \bullet \frac{BA_{1}}{CA_{1}} \bullet \frac{CB_{1}}{AB_{1}} = 1.\]

\[Следовательно:\]

\[точки\ A_{2},B_{2}\ и\ C_{2}\ также\ лежат\ \]

\[на\ одной\ прямой.\ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]