Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 854

\[\boxed{\mathbf{854.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[ABCD - трапеция;\ \ \]

\[точки\ K\ и\ M - середины\ \]

\[оснований\ \text{BC\ }и\ AD;\]

\[точка\ N - пересечение\ \]

\[диагоналей;\ \ \]

\[точка\ L - пересечение\ \]

\[продолжений\ \text{AB\ }и\ \text{DC.}\]

\[Доказать:\ \text{\ \ }\]

\[L,K,M,N - принадлежат\ \]

\[одной\ прямой.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ \ \angle DAB = \angle CBL\ \ и\ \ \angle ADC =\]

\[= \angle BCL\ \]

\[(как\ соответственные):\]

\[\mathrm{\Delta}BLC\sim\mathrm{\Delta}ALD.\]

\[2)\ Проведем\ медиану\ LM\ \mathrm{\Delta}ALD.\]

\[Так\ как\ BC \parallel AD\ и\ K -\]

\[середина\ BC:\]

\[точка\ K \in LM.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}KNC\sim\mathrm{\Delta}ANM:\ \]

\[\angle KNC = \angle ANM\ \]

\[(как\ вертикальные);\]

\[\angle NMA = \angle NKC\ \]

\[(как\ накрест\ лежащие).\]

\[4)\ \frac{\text{AL}}{\text{BL}} = \frac{\text{AM}}{\text{BK}}\ \]

\[(так\ как\ \mathrm{\Delta}BLC\sim\mathrm{\Delta}ALD);\]

\[\frac{\text{CN}}{\text{AN}} = \frac{\text{KC}}{\text{AM}}\text{\ \ }(т.к.\ \ \mathrm{\Delta}KNC\sim\mathrm{\Delta}ANM).\]

\[Отсюда:\ \]

\[\frac{\text{AL}}{\text{BL}} \bullet \frac{\text{BK}}{\text{CK}} \bullet \frac{\text{CN}}{\text{AN}} = \frac{\text{AM}}{\text{BK}} \bullet \frac{\text{KC}}{\text{AM}} =\]

\[= 1\ (так\ как\ BK = KC).\]

\[Следовательно,\ по\ теореме\ \]

\[Менелая:\ \]

\[точки\ K,N,M\ лежат\ на\ одной\ \]

\[прямой.\]

\[5)\ Таким\ образом:\]

\[точки\ L,K,M,N - принадлежат\ \]

\[одной\ прямой.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\ \ \]