Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 852

\[\boxed{\mathbf{852.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AA_{1},BB_{1},CC_{1} - биссектрисы\ \ \]

\[внешних\ углов;\]

\[A_{1} \in BC;\ \ \]

\[B_{1} \in AC;\]

\[C_{1} \in AB.\]

\[Доказать:\]

\[A_{1},B_{1},C_{1} \in прямой.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ \ В\ задаче\ 837\ было\ доказано:\ \ \]

\[\frac{BA_{1}}{CA_{1}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}.\]

\[Аналогично:\ \]

\[\frac{AC_{1}}{BC_{1}} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}};\ \ \text{\ \ }\frac{CB_{1}}{AB_{1}} = \frac{\text{BC}}{\text{AB}}.\]

\[2)\ Таким\ образом:\]

\[\frac{AC_{1}}{BC_{1}} \bullet \frac{BA_{1}}{CA_{1}} \bullet \frac{CB_{1}}{AB_{1}} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}} \bullet \frac{\text{AB}}{\text{AC}} \bullet \frac{\text{BC}}{\text{AB}} =\]

\[= 1.\]

\[Следовательно,\ по\ теореме\ \]

\[Менелая:\ \ \ \]

\[точки\ A_{1},B_{1}\ и\ C_{1}\ лежат\ на\ \]

\[одной\ прямой.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]