Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 833

\[\boxed{\mathbf{833.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[AD \parallel BC;\]

\[\angle A = 90{^\circ}.\]

\[Доказать:\]

\[S_{\text{ABCD}} = AD \bullet BC.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Отметим\ точки\ касания\ \]

\[окружностью\ сторон\ \]

\[трапеции:E,F,G\ и\ H.\]

\[2)\ Рассмотрим\ \]

\[четырехугольник\ ABFH:\]

\[OH\bot AD;\]

\[OF\bot BC;\ \]

\[O \in FH.\]

\[Следовательно:\]

\[ABFH - прямоугольник;\]

\[FH = AB = 2r = h;\]

\[BF = AH = OE = r.\]

\[3)\ Опустим\ высоту\ CK\bot AD:\]

\[CK^{2} = h^{2} = CD^{2} - KD^{2} =\]

\[= CD^{2} - (AD - BC)^{2}.\]

\[4)\ По\ свойству\ описанного\ \]

\[четырехугольника:\]

\[AD + BC = AB + CD.\]

\[5)\ CD = AD + BC - AB =\]

\[= AD + BC - h;\]

\[h^{2} =\]

\[= (AD + BC - h)^{2} - (AD - BC)^{2};\]

\[2h(AD + BC) =\]

\[= (AD + BC)^{2} - (AD - BC)^{2};\]

\[2h(AD + BC) =\]

\[2h(AD + BC) = 4AD \bullet BC;\]

\[h(AD + BC) = 2AD \bullet BC.\]

\[6)\ S_{\text{ABCD}} = \frac{h(AD + BC)}{2} =\]

\[= \frac{2AD \bullet BC}{2} = AD \bullet BC.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]