Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 832

\[\boxed{\mathbf{832.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\text{ABCD} - четырехугольник;\ \ \]

\[окружности\ O_{1}\ и\ O_{2}\ вписаны\ в\ \]

\(\mathrm{\Delta}ABC\ и\ \mathrm{\Delta}ADC.\)

\[Доказать:\ \ \]

\[в\ \text{ABCD\ }можно\ вписать\ \]

\[окружность\ только\ тогда,\ \]

\[когда\ окружности\ касаются\ \]

\[диагонали\ в\ одной\ точке.\]

\[Доказательство:\]

\[1)\ Построим\ перпендикуляры:\ \]

\[O_{1}K\bot AB,\ \ \ O_{1}P\bot CB,\ \ \ \]

\[O_{2}M\bot DA,\ O_{2}N\bot DC.\]

\[2)\ Пусть\ окружности\ касаются\ \]

\[диагонали\ в\ одной\ точке\ E.\]

\[3)\ BP = BK\ и\ \ DM = DN\ (как\ \]

\[касательные,\ проведенные\ из\ \]

\[одной\ точки);\]

\[CP = CN = CE\ \ \ и\ \ AK = AE =\]

\[= AM\ (касательные\ проведены\ \]

\[из\ одной\ точки,\ при\ этом\ к\ \]

\[двум\ окружностям\ есть\ общая\ \]

\[касательная).\]

\[4)\ Найдем\ суммы\ \]

\[противолежащих\ сторон\ \]

\[многоугольника:\]

\[AB + CD =\]

\[= AK + KB + CN + ND =\]

\[= AM + BP + CP + DM =\]

\[= AD + BC.\]

\[Значит,\ в\ ABCD\ можно\ вписать\ \]

\[окружность.\]

\[5)\ \ Докажем\ обратное:\ пусть\ в\ \]

\[\text{ABCD\ }можно\ вписать\ \]

\[окружность.\]

\[Пусть\ окружность\ O_{1}\ касается\ \]

\[\text{AC\ }в\ точке\ E_{1},\ а\ окружность\ O_{2}\ \]

\[касается\ AC\ в\ точке\ E_{2}.\]

\[6)\ AB + CD = AD + BC\ \]

\[BP + PC + AM + MD =\]

\[= BK + KA + CN + ND\]

\[PC + AM = KA + CN\]

\[(PC - CN) + (AM - KA) = 0\]

\[PC = CN\ \ и\ \ AM = KA.\]

\[7)\ PC = CN;\text{\ \ }CE_{1} = PC;\ \ CE_{2} =\]

\[= \text{CN\ }\]

\[(как\ касательные\ из\ одной\ точки):\]

\[CE_{1} = CE_{2}.\]

\[Следовательно,\ точки\ E_{1}\ и\ E_{2}\ \]

\[совпадают;\]

\[окружности\ касаются\ \text{AC\ }в\ \]

\[одной\ точке.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]