Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 822

\[\boxed{\mathbf{822.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[Окружность\ (O;r);\]

\[K \in окружности;\ \ \]

\[KB - касательная;\]

\[OA\bot PN;\]

\[PN \cap KA = M.\]

\[Доказать:\]

\[NK = NM.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ AK \cap ON = M.\]

\[Пусть\ \angle OKM = \varphi:\]

\[\angle MKN = 90{^\circ} - \varphi\ \]

\[(так\ как\ OK\bot KB).\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}KOA - равнобедренный\ \]

\[(так\ как\ OK = OA = r):\]

\[\angle KAO = \angle OKA = \varphi.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}MOA - прямоугольный:\]

\[\angle AMO = 90{^\circ} - \varphi.\]

\[4)\ \angle AMO = \angle NMK\ \]

\[(как\ вертикальные):\]

\[\angle MKN = \angle NMK.\]

\[Значит:\ \]

\[\mathrm{\Delta}NKM - равнобедренный.\]

\[Отсюда:\ \]

\[NK = NM.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]