Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 820

\[\boxed{\mathbf{820.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \]

\[окружность\ O - пересекает\ BC\ \]

\[в\ точках\ \text{P\ }и\ Q;\]

\[BP = CQ.\]

\[Доказать:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Отметим\ точки\ M\ и\ N - в\ \]

\[местах\ касания\ окружности\ \]

\[сторон\ треугольника\ \text{AB\ }и\ \text{AC}.\]

\[2)\ Из\ условия\ задачи\ следует,\ \]

\[что\ \text{AB\ }и\ AC - касательные\ к\ \]

\[окружности;\]

\[BC - секущая,\ тогда\ по\ теореме\ \]

\[о\ касательной\ и\ секущей:\]

\[CN^{2} = CQ \bullet CP\ \ и\ \ \]

\[BM^{2} = BP \bullet BQ;\]

\[CN^{2} = CQ \bullet CP = BP \bullet BQ = BM^{2}\text{\ \ }\]

\[CN = BM.\]

\[AM = AN.\]

\[4)\ Таким\ образом:\]

\[AB = AM + BM = AN + CN =\]

\[= \text{AC.}\]

\[Следовательно:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]