Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 819

\[\boxed{\mathbf{819.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[ABCD - четырехугольник;\ \ \]

\[M \in ABCD.\]

\[Доказать:\ \ \]

\[\angle AMD = \angle ABM + \angle MCD,\ \]

\[только\ тогда,\ когда\ \]

\[окружности,описанные\ около\ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{ABM\ }и\ \mathrm{\Delta}MCD,\ имеют\ в\ точке\ \]

\[M - общую\ касательную.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Через\ точку\ \text{M\ }проведем\ \]

\[касательную\ к\ окружности,\ \]

\[описанной\ около\ \mathrm{\Delta}ABM,\ \]

\[отметим\ точку\ \text{E\ }на\ \]

\[касательной.\]

\[2)\ \angle AME = \frac{1}{2} \cup AM = \angle ABM\ \]

\[3)\ Если\ ME - также\ \]

\[касательная\ к\ окружности,\]

\[\ описанной\ около\ \mathrm{\Delta}CMD:\]

\[\angle DME = \frac{1}{2} \cup MD = \angle MCD\ \]

\[4)\ Таким\ образом:\ \]

\[\angle AMD = \angle AME + \angle EMD =\]

\[= \angle ABM + \angle MCD.\]

\[5)\ Обратно,\ если\ \angle AME =\]

\[= \angle ABM\ и\ \angle EMD = \angle MCD:\ \]

\[ME - общая\ касательная\ к\ \]

\[окружностям,\ описанным\ \]

\[около\ \mathrm{\Delta}ABM\ и\ \mathrm{\Delta}MCD;\ \]

\[так\ как\ угол\ между\ прямой\ ME\ \]

\[и\ хордой\ равен\ углу,\ который\ \]

\[опирается\ на\ хорду.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]