Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 818

\[\boxed{\mathbf{818.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[окружность\ \left( O_{1},r_{1} \right);\]

\[окружность\ \left( O_{2};r_{2} \right);\]

\[\text{A\ }и\ B - общие\ точки;\]

\[BD - касат.\ к\ O_{2};\]

\[AC - касат.\ к\ O_{1}.\]

\[Доказать:\]

\[\textbf{а)}\ AD \parallel BC;\]

\[\textbf{б)}\ AB^{2} = AD \bullet BC;\]

\[\textbf{в)}\ BD^{2}\ :AC^{2} = AD\ :BC.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Углы\ между\ касательной\ и\ \]

\[хордой:\]

\[\angle DBA = \frac{1}{2} \cup AMB = \angle BCA;\]

\[\angle CAB = \frac{1}{2} \cup ANB = \angle ADB.\]

\[2)\ \angle DAB =\]

\[= 180{^\circ} - \angle ADB - \angle DBA =\]

\[= 180{^\circ} - \angle CAB - \angle BCA =\]

\[= \angle ABC.\]

\[\textbf{а)}\ Рассмотрим\ \text{DA\ }и\ BC,\ \ \ \]

\[AB - секущая:\]

\[\angle DAB = \angle ABC\ \]

\[(как\ накрестлежащие);\]

\[AD \parallel BC.\]

\[\textbf{б)}\ \mathrm{\Delta}BAD\sim\mathrm{\Delta}CBA\ \]

\[(по\ трем\ углам):\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{AD}} = \frac{\text{BC}}{\text{AB}}\]

\[AB^{2} = AD \bullet BC.\]

\[\textbf{в)}\ \frac{\text{AB}}{\text{AD}} = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} = \frac{\text{AC}}{\text{BD}}:\]

\[\frac{BD^{2}}{AC^{2}} = \frac{AB^{2}}{BC^{2}} = \frac{BC \bullet AD}{BC^{2}} = \frac{\text{AD}}{\text{BC}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]