Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 783

\[\boxed{\mathbf{783.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \]

\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} - куб;\ \ \]

\[a = 1\ см;\ \ \]

\[ломаная - внутри\ куба.\]

\[Доказать:\ \]

\[длина\ ломаной\ меньше\ 3\ см.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Направим\ оси\ координат:\ \]

\[OX - вдоль\ AB;\ \ \]

\[OY - вдоль\ AD;\ \ \]

\[OZ - вдоль\ AA_{1}.\]

\[2)\ Пусть\ x,y,z - длины\ \]

\[проекции\ ломаной\ на\ оси\ \]

\[координат.\]

\[3)\ Согласно\ условию,\ каждая\ \]

\[плоскость,\ параллельная\ любой\ \]

\[грани\ куба,\ пересекает\ ломаную\ \]

\[не\ более,\ чем\ в\ одной\ точке.\]

\[Значит,\ проекции\ отрезков\ \]

\[ломаной\ не\ имеют\ общих\ \]

\[точек.\]

\[4)\ Таким\ образом,\ сумма\ длин\ \]

\[всех\ отрезков\ ломаной\ не\ \]

\[может\ быть\ больше\ суммы\ \]

\[длин\ трех\ ребер\ куба,\ \]

\[исходящих\ из\ одной\ вершины:\]

\[x < 1;\ y < 1;\ z < 1;\]

\[x + y + z < 3.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[5)\ Если\ расположить\ вершины\ \]

\[ломаной\ достаточно\ близко\ к\ \]

\[вершинам\ куба,\ то\ каждая\ из\ \]

\[длин\ проекции\ будет\ \]

\[стремиться\ к\ длине\ ребра\]

\[куба:длина\ ломаной\ будет\ \]

\[стремиться\ к\ 3\ см.\ \]