Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 784

\[\boxed{\mathbf{784.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[ABCD - тетраэдр;\]

\[\text{a\ }и\ b - скрещиваются;\]

\[\text{AB\ }и\ CD\ перемещаются\ по\ a\ и\ \text{b.}\]

\[Доказать:\]

\[V_{\text{ABCD}} - const.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Пусть\ отрезок\ \text{AB\ }\]

\[неподвижен;\]

\[отрезок\ CD\ перемещается\ в\ \]

\[отрезок\ C^{'}D^{'}.\]

\[2)\ \text{CD\ }и\ C^{'}D^{'}находятся\ на\ одной\ \]

\[прямой:\ \mathrm{\Delta}\text{BCD\ }и\ \mathrm{\Delta}BC^{'}D^{'}\ имеют\ \]

\[общую\ высоту,\ опущенную\ из\ \]

\[точки\ B;\]

\[CD = C^{'}D^{'};\ \]

\[S_{\text{BCD}} = S_{BC^{'}D^{'}}.\]

\[3)\ Отрезки\ \text{CD\ }и\ C^{'}D^{'}\ \]

\[принадлежат\ прямой;\ точка\ B\ \]

\[общая:BCD\ и\ BC^{'}D^{'}лежат\ в\ \]

\[одной\ плоскости;\ \]

\[тетраэдры\ \text{ABCD\ }и\ \text{AB}C^{'}D^{'}\]

\[имеют\ общую\ высоту\ H,\]

\[опущенную\ из\ точки\ \text{A.}\ \]

\[4)\ Объемы\ фигур\ равны:\]

\[\ V_{\text{ABCD}} = \frac{1}{3}S_{\text{BCD}} \bullet H =\]

\[= \frac{1}{3}S_{BC^{'}D^{'}} \bullet H = V_{\text{AB}C^{'}D^{'}}.\]

\[5)\ Аналогично:\ \]

\[при\ неподвижном\ отрезке\ \text{CD\ }и\ \]

\[перемещающемся\ отрезке\ \text{AB.}\]

\[Следовательно:\]

\[при\ перемещении\ отрезков\ \text{AB\ }\]

\[и\ \text{CD\ }объем\ тетраэдра\ не\ \]

\[изменяется.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]