Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 781

\[\boxed{\mathbf{781.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \]

\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} - куб;\ \ \]

\[AB_{1}CD_{1};\text{\ \ }C_{1}BA_{1}D - тетраэдры.\]

\[Доказать:\ \]

\[AB_{1}CD_{1} \cap C_{1}BA_{1}D -\]

\[правильный\ октаэдр.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Тетраэдры\ пересекаются\ в\ \]

\[точках\ M,N,K,P,L\ и\ \text{N.}\]

\[2)\ Стороны\ тетраэдров\ A_{1}C_{1}\ \ и\ \ \]

\[B_{1}D_{1}\ являются\ диагоналями\ \]

\[грани\ куба.\]

\[Значит,\ точка\ Q - пересечение\ \]

\[диагоналей\ квадрата\ A_{1}B_{1}D_{1}C_{1}.\]

\[Отсюда:\ \]

\[A_{1}Q = QC_{1};\ \ \]

\[B_{1}Q = QD_{1}.\]

\[Аналогично\ для\ остальных\ \]

\[точек\ пересечения.\]

\[Следовательно,\ все\ точки\ \]

\[фигуры\ лежат\ на\ серединах\ \]

\[граней\ куба.\]

\[3)\ Пусть\ a - сторона\ квадрата.\]

\[Расстояние\ между\ серединами\ \]

\[соседних\ граней\ куба\]

\[(по\ теореме\ Пифагора):\]

\[ML = \sqrt{\left( \frac{1}{2}a \right)^{2} + \left( \frac{1}{2}a \right)^{2}} =\]

\[= \sqrt{2 \bullet \frac{1}{4}a^{2}} = a\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}.\]

\[Аналогично\ для\ остальных\ \]

\[точек.\]

\[4)\ Таким\ образом,\ полученная\ \]

\[пересечением\ тетраэдров\ \]

\[фигура\ MNKPLN\ имеет\ 8\ \]

\[вершин\ и\ расстояние\ между\ \]

\[всеми\ соседними\ вершинами\ \]

\[одинаково.\]

\[Значит:\ \]

\[MNKPLN - октаэдр.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]