Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 78

\[\boxed{\mathbf{78.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Рисунок\ к\ задаче:42.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ABCD - параллелограмм\ \]

\[(из\ определения\ параллелепипеда):\]

\[AB = CD.\]

\[2)\ CD - CN = AB - AM:\]

\[DN = BM.\]

\[3)\ AB \parallel CD:\]

\[DN \parallel BM.\]

\[Отсюда\ \]

\[(по\ признаку\ параллелограмма):\]

\[MNDB - параллелограмм.\]

\[4)\ Аналогично:\]

\[M_{1}N_{1}D_{1}B_{1} - параллелограмм.\]

\[5)\ MBND = M_{1}B_{1}N_{1}D_{1}:\]

\[DN \parallel D_{1}N_{1};\ \ \ DM \parallel D_{1}M_{1};\]

\[\angle NDM = \angle N_{1}D_{1}M_{1};\]

\[MB = M_{1}B_{1};\ \ MD = M_{1}D_{1}.\]

\[6)\ AMM_{1}A_{1} - параллелограмм:\]

\[AM = A_{1}M_{1}.\]

\[7)\ Аналогично:\]

\[C_{1}NN_{1}C - параллелограмм.\]

\[8)\ Получаем:\]

\[MM_{1} = BB_{1} = CC_{1} = NN_{1} =\]

\[= DD_{1};\]

\[\text{MB}B_{1}M_{1};\ \ BNN_{1}B_{1};\ \ DNN_{1}D_{1};\ \ \]

\[\text{MD}D_{1}M_{1} - паралеллограммы.\]

\[Значит,\ по\ определению:\]

\[\text{MBND}M_{1}B_{1}D_{1}M_{1} -\]

\[параллелепипед.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]