Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 635
635
\[\boxed{\mathbf{635.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1};\ \mathrm{\Delta}A_{2}B_{2}C_{2};\ \ \]
\[A_{1}A = AA_{2};\ \ \]
\[B_{1}B = BB_{2};\ \ \]
\[C_{1}C = CC_{2}.\]
\[Доказать:\ \ \]
\[точки\ пересечения\ медиан\ \]
\[треугольников\ лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Пусть\ точки\ M,M_{1}\ и\ M_{2} -\]
\[точки\ пересечения\ медиан\]
\[данных\ треугольников.\]
\[2)\ Если\ точку\ \text{M\ }считать\ \]
\[произвольной\ точкой\ \]
\[пространства\ для\]
\[\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}\text{\ \ }и\ \ \mathrm{\Delta}A_{2}B_{2}C_{2}\ (по\ №603):\]
\[\overrightarrow{MM_{1}} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{MA_{1}} + \overrightarrow{MB_{1}} + \overrightarrow{MC_{1}} \right);\ \]
\[\overrightarrow{MM_{2}} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{MA_{2}} + \overrightarrow{MB_{2}} + \overrightarrow{MC_{2}} \right);\]
\[\overrightarrow{MM_{1}} + \overrightarrow{MM_{2}} =\]
\[3)\ \ Пусть\ K - середина\ \]
\[отрезка\ AB:\]
\[\overrightarrow{\text{MK}} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MB}} \right);\]
\[\overrightarrow{MA_{1}} + \overrightarrow{MA_{2}} = 2\overrightarrow{\text{MA}}\ \ и\ \ \]
\[\overrightarrow{MB_{1}} + \overrightarrow{MB_{2}} = 2\overrightarrow{\text{MB}};\text{\ \ }\]
\[\overrightarrow{MC_{1}} + \overrightarrow{MC_{2}} = 2\overrightarrow{\text{MC}}.\]
\[4)\ \overrightarrow{MM_{1}} + \overrightarrow{MM_{2}} =\]
\[= \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{MC}} \right) = \frac{2}{3} \bullet \overrightarrow{0} =\]
\[= \overrightarrow{0}.\]
\[\overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{MC}} = \overrightarrow{0}\ (как\ \]
\[векторы\ с\ началом\ в\ точке\ \]
\[пересечения\ медиан\ и\ концами\ \]
\[в\ вершинах\ треугольника).\]
\[5)\ \overrightarrow{MM_{1}} + \overrightarrow{MM_{2}} = \overrightarrow{0}:\]
\[векторы\ \overrightarrow{MM_{1}}\ и\ \overrightarrow{MM_{2}}\ \]
\[коллинеарны,\ они\ имеют\ \]
\[общую\ точку\ и\ лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[Следовательно:\ \]
\[точки\ M,M_{1}\ и\ M_{2} - лежат\ на\ \]
\[одной\ прямой.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
