Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 529
529
\[\boxed{\mathbf{529.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\]
\[ABCM - правильная\ пирамида;\]
\[\angle MPO = \varphi;\]
\[BK = m.\]
\[Найти:\]
\[\text{V.}\]
\[Решение.\ \]
\[1)\ ABCM - правильная\ \]
\[пирамида:\]
\[AC = CB = AB = a.\]
\[2)\ Построим\ высоту\ \text{BP\ }в\ \]
\[основании\ пирамиды\ \]
\[(BP\bot AC):\]
\[MP\bot AC\ \]
\[(теорема\ о\ трех\ перпендикулярах);\]
\[\angle MPB = \varphi.\]
\[3)\ В\ плоскости\ \text{MAC\ }построим\ \]
\[BK\bot MP:\ \]
\[BK = m.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}BPK - прямоугольный:\ \ \]
\[BP = \frac{m}{\sin\varphi}.\]
\[5)\ \mathrm{\Delta}BPA - прямоугольный:\ \ \]
\[BP = a \bullet \sin{60{^\circ}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\]
\[6)\ \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{m}{\sin\varphi}:\]
\[a = \frac{2m}{\sqrt{3}\sin\varphi}.\]
\[7)\ Площадь\ основания\ \]
\[пирамиды:\]
\[S_{осн} = S_{\text{ABC}} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} =\]
\[= \frac{4m^{2}\sqrt{3}}{3 \bullet 4 \bullet \sin\varphi} = \frac{m^{2}\sqrt{3}}{3 \bullet \sin\varphi}.\]
\[8)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC:\ \ \]
\[OP = r - радиус\ вписанной\ \]
\[окружности;\]
\[r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2m}{\sqrt{3} \bullet 2\sqrt{3} \bullet \sin\varphi} =\]
\[= \frac{m}{3 \bullet \sin\varphi}.\]
\[9)\ \mathrm{\Delta}MOP - прямоугольный:\]
\[\frac{\text{MO}}{\text{OP}} = tg\ \varphi\]
\[MO = OP \bullet tg\ \varphi;\]
\[h = MO = \frac{m}{3 \bullet \sin\varphi} \bullet \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} =\]
\[= \frac{m}{3 \bullet \cos\varphi}.\]
\[10)\ V = \frac{1}{3} \bullet S_{осн} \bullet h =\]
\[= \frac{1}{3} \bullet \frac{m^{2}\sqrt{3}}{3 \bullet \sin\varphi} \bullet \frac{m}{3 \bullet \cos\varphi} =\]
\[= \frac{m^{3}\sqrt{3}}{27 \bullet \sin^{2}\varphi \bullet \cos\varphi}.\]
\[\mathbf{Отв}ет:\ \ V = \frac{m^{3}\sqrt{3}}{27 \bullet \sin^{2}\varphi \bullet \cos\varphi}.\]
