Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 245

\[\boxed{\mathbf{245.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[ABCD - прямоугольник;\]

\[AC = 8\ см;\]

\[\angle MDA = 45{^\circ};\]

\[\angle MBA = 30{^\circ}.\]

\[Найти:\]

\[S_{пир}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ Предположим,\ что\ \]

\[плоскости\ \text{MAB\ }и\ MHD\ \bot к\ \]

\[плоскости\ основания:\]

\[линия\ их\ пересечения\ MA\bot к\ \]

\[плоскости\ основания;\]

\[MA - высота\ пирамиды.\]

\[CB\bot AB:\]

\[CB\bot MB - по\ теореме\ о\ трех\ \]

\[перпендикулярах.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle MBA = 30{^\circ} - линейный\ угол\ \]

\[двугранногот\ угла\ при\ ребре\ \]

\[\text{BC.}\]

\[2)\ Аналогично:\ \]

\[AD\bot DC;\ \ MD\bot DC;\]

\[\angle MDA = 45{^\circ} - линейный\ угол\ \]

\[двугранного\ угла\ при\ ребре\ \text{DC.}\]

\[Отсюда:\]

\[⊿MBC;\ ⊿MDC -\]

\[прямоугольные.\]

\[3)\ Пусть\ MA = x;\ \ MB = 2x;\ \ \]

\[AB = x\sqrt{3}.\]

\[В\ треугольнике\ MAD:\]

\[MA = AD = x;\]

\[MD = x\sqrt{2}.\]

\[В\ треугольнике\ ABC:\]

\[AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}.\]

\[Получаем\ уравнение:\]

\[3x^{2} + x^{2} = 64\]

\[4x^{2} = 64\]

\[x^{2} = 16\]

\[x = 4\ (см) - стороны\ \text{MA\ }и\ \text{AD.}\]

\[AB = x\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\ см.\]

\[MB = 2x = 8\ см;\]

\[MD = x\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\ см.\]

\[S_{осн} = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}\ см^{2}.\]

\[S_{пир} = 24 + 24\sqrt{3} + 8\sqrt{6} =\]

\[= 8 \cdot \left( 3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{6} \right)\ см^{2}.\]

\[Ответ:\ 8 \cdot \left( 3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{6} \right)\ см^{2}.\]