Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 175

\[\boxed{\mathbf{175.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[ABCD - тетраэдр,\ все\ ребра\ \]

\[которого\ равны.\]

\[Доказать:\]

\[все\ двугранные\ углы\ равны.\]

\[Найти:\]

\[двугранный\ угол\ \text{BACD.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ SO - высота:\]

\[SO\bot ABC;\]

\[SB;SA;SC - наклонные.\]

\[2)\ SA = SB = SC:\]

\[AO = BO = CO.\]

\[3)\ O - центр\ описанной\ \]

\[окружности:\]

\[AO = BO = CO = R.\]

\[4)\ BB_{1};\ \ CC_{1};\ \ AA_{1} -\]

\[серединные\ перпендикуляры:\]

\[BB_{1}\bot AC;CC_{1}\bot AB;\ \ AA_{1}\bot BC.\]

\[5)\ \angle SB_{1}O - линейный\ угол\ \]

\[двугранного\ угла\ SACB;\]

\[\angle SC_{1}O - линейный\ угол\ \]

\[двугранного\ угла\ SABC;\]

\[\angle SA_{1}O - линейный\ угол\ \]

\[двугранного\ угла\ SBCA.\]

\[6)\ ⊿OB_{1}S = ⊿OC_{1}S = ⊿OA_{1}S:\]

\[SO - общий\ катет;\]

\[OB_{1} = OC_{1} = OA_{1} = r.\]

\[Из\ равенства\ треугольников:\]

\[\angle SB_{1}O = \angle SC_{1}O = \angle SA_{1}\text{O.}\]

\[6)\ По\ определению\ синуса\ \]

\[(из\ ⊿BSC):\]

\[SA_{1} = a \cdot \sin{60{^\circ}}\text{\ \ }\]

\[(a - ребро\ тетраэдра);\]

\[SA_{1} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\]

\[7)\ Из\ треугольника\ ABC:\]

\[OA_{1} = \frac{1}{3}AA_{1} = \frac{a}{2\sqrt{3}}.\]

\[8)\ Из\ треугольника\ SA_{1}O:\]

\[\cos\varphi = \frac{OA_{1}}{SA_{1}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}\ :\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3};\]

\[\varphi = \arccos\frac{1}{3}.\]

\[Ответ:\ \ \arccos\frac{1}{3}.\]