Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 165
165
\[\boxed{\mathbf{165.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\]
\(A \notin \gamma;\)
\[AH\bot\gamma;\ \]
\[p(A,\gamma) = d;\]
\[\text{AB\ }и\ AC - наклонные\ к\ \gamma;\]
\[\widehat{\text{AB\ γ}} = 30{^\circ};\]
\[BH - проекция\ AB;\]
\[CH - проекция\ AC;\]
\[\widehat{\text{BH\ CH}} = 120{^\circ}.\]
\[Найти:\]
\[\text{BC.}\]
\[Решение.\]
\[1)\ Угол\ между\ прямой\ и\ \]
\[плоскостью - это\ угол\ между\ \]
\[прямой\ и\ ее\ проекцией\ на\ эту\ \]
\[плоскость:\]
\[\widehat{\text{AB\ γ}} = \widehat{\text{AB\ BH}} = \angle ABH = 30{^\circ};\]
\[\widehat{\text{AC\ γ}} = \widehat{\text{AC\ CH}} = \angle ACH = 30{^\circ}.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}ABH = \mathrm{\Delta}ACH - по\ катету\ и\ \]
\[противолежащему\ углу:\]
\[\angle AHB = \angle AHC = 90{^\circ}\ \]
\[(так\ как\ AH\bot\gamma);\ \]
\[\angle ABH = \angle ACH = 30{^\circ};\]
\[AH - общая\ сторона.\]
\[Отсюда:\ \]
\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}BHC:\]
\[BH = HC;\ \]
\[\angle BHC = 120{^\circ}.\]
\[По\ теореме\ косинусов:\]
\[BC^{2} =\]
\[= BH^{2} + HC^{2} - 2BH \bullet HC \bullet \cos{120{^\circ}};\]
\[BC^{2} =\]
\[= BH^{2} + BH^{2} - 2 \bullet BH \bullet BH \bullet \left( - \frac{1}{2} \right);\]
\[BC^{2} = 2BH^{2} + BH^{2} = 3BH^{2};\]
\[BC = \sqrt{3BH^{2}} = BH\sqrt{3}.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}ABH - прямоугольный:\]
\[AH = d;\ \]
\[\angle B = 30{^\circ};\ \]
\[BH = AH \bullet ctg\ 30{^\circ} = d\sqrt{3}.\]
\[5)\ BC = \sqrt{3} \bullet d \bullet \sqrt{3} = 3d.\]
\[Ответ:BC = 3d.\]
\[Параграф\ 3.\ Двугранный\ угол.\ Перпендикулярность\ плоскостей\]
