Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 795

\[\boxed{\mathbf{795.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[сфера\ O;\ \ \ \]

\[MA\bot MB\bot MD - хорды.\]

\[Доказать:\ \ \]

\[сумма\ квадратов\ длин\ хорд\]

\[не\ зависит\ от\ их\ положения.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ \angle BMA = 90{^\circ}:\]

\[\angle BMA - опирается\ дугу\ \]

\[окружности\ равную\ 180{^\circ}.\]

\[Следовательно:\ \]

\[AB - диаметр\ окружности.\]

\[2)\ Достроим\ \text{ABM\ }до\ \]

\[прямоугольника\ MABC;\ \ \]

\[CM = AB = d_{окр}.\]

\[3)\ Отметим\ точку\ H -\]

\[пересечение\ диагоналей\ \text{CM\ }и\ \]

\[AB:\]

\[OH\bot MAB.\]

\[4)\ MD\bot MA\ \ и\ \ MD\bot MB:\]

\[MD\bot MAB;\ \]

\[MD \parallel HO.\]

\[Тогда\ MD\ и\ \text{HO\ }лежат\ в\ одной\ \]

\[плокости.\]

\[5)\ \angle CMD = 90{^\circ};\ \ \ CD = D -\]

\[диаметр\ сферы.\]

\[DC^{2} = MC^{2} + MD^{2} =\]

\[= AB^{2} + MD^{2} = D_{сферы}^{2}\]

\[AB^{2} + MD^{2} =\]

\[= \left( MA^{2} + MB^{2} \right) + MD^{2} =\]

\[= D_{сферы}^{2}.\]

\[Сумма\ квадратов\ хорд\ не\ \]

\[зависит\ от\ их\ положения.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]