Решебник по алгебре 9 класс Макарычев Задание 629

 

\[\boxed{\text{629}\text{\ (629)}\text{.}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} \sim \ldots \sim \bigtriangleup A_{n}B_{n}C_{n}.\]

\[Площади\ треугольников - это\ геометрическая\ прогрессия,\ где\]

\[b_{1} = 768;\ \ \ \ q = \frac{1}{4}\text{\ \ }\]

\[b_{9} = b_{1}q^{8} = 768 \cdot \frac{1}{4^{8}} = \frac{3}{256}\text{\ \ }\left( см^{2} \right).\]

\[\boxed{\text{629.}\text{\ }\text{ОК\ ГДЗ\ -\ домашка\ на\ 5}}\]

\[n = 1 \Longrightarrow \frac{1^{2} \cdot (1 + 1)^{2}}{4} = 1 = 1^{3};\]

\[n = 2 \Longrightarrow \frac{2^{2} \cdot (2 + 1)^{2}}{4} = 9 =\]

\[= 1 + 8 = 1^{3} + 2^{3};\]

\[n = 3 \Longrightarrow \frac{3^{2} \cdot (3 + 1)^{2}}{4} = 36 =\]

\[= 1 + 8 + 27 = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3}.\]

\[Допустим,\ что\ формула\ верна\ \]

\[при\ любом\ n = k,\ то\ есть\]

\[\Longrightarrow 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \ldots + k^{3} =\]

\[= \frac{k^{2}(k + 1)^{2}}{4} \Longrightarrow проверим,\ \]

\[справедливо\ ли\ высказывание\ \]

\[\ при\ n = k + 1 \Longrightarrow\]

\[1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + .. + k^{3} + (k + 1)^{3} =\]

\[= \frac{k^{2}(k + 1)^{2}}{4} + (k + 1)^{3},\ \]

\[\frac{k^{2}(k + 1)^{2}}{4} + (k + 1)^{3} =\]

\[= \frac{(k + 1)^{2}\left( k^{2} + 4 \cdot (k + 1) \right)}{4} =\]

\[= \frac{(k + 1)^{2}(k + 2)^{2}}{4} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow формула\ справедлива \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow ч.т.д.\]