Решебник по алгебре 9 класс Макарычев Задание 1075

\[\boxed{\text{1075\ (1075).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1\]

\[1)\ \ \ \ \frac{1}{2} < 1;\ \ \frac{3}{4} < 1 < \frac{2n - 1}{2n} < 1\ \]

\[\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} < 1\]

\[\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1.\]

\[2)\ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} =\]

\[= \frac{1}{2} \cdot \ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}\]

\[\frac{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} > \frac{1}{2^{n - 1}}\]

\[\frac{3}{2} > 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{5}{3} > 1;\ \ \ \ \ \ \frac{2n - 1}{n} > 1.\]

\[\Longrightarrow \frac{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} > \frac{1}{2^{n - 1}}\text{\ \ \ }и\ \]

\[\ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} > \frac{1}{2^{n}}\]

\[\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} > \frac{1}{2}.\]