\[\boxed{\mathbf{849\ (849).\ }Еуроки\ - \ ДЗ\ без\ мороки}\]
\[P_{1} = 3a;\ \ a - сторона\ \]
\[треугольника.\]
\[P_{2} = 3 \cdot \frac{a}{2};\ \ P_{3} = 3 \cdot \frac{a}{4}\ \ и\ \ так\]
\[\ далее,\ до\ \ P_{n} = \frac{3a}{2^{n - 1}}\]
\[\frac{P_{n + 1}}{p_{n}} = \frac{3a}{2^{n + 1 - 1}}\ :\frac{3a}{2^{n - 1}} =\]
\[= \frac{3a \cdot 2^{n - 1}}{2^{n} \cdot 3a} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}.\]
\[q = \frac{1}{2} \Longrightarrow следовательно,\ \]
\[это\ прогрессия.\]
\[Ответ:P_{n} = \frac{3a}{2^{n - 1}}.\]
\[\boxed{\mathbf{849.\ }Еуроки\ - \ ДЗ\ без\ мороки}\]
\[Запишем\ b = \frac{a + c}{2},\]
\[\ \ 2b = a + c,\ \ тогда\ \]
\[a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + a \cdot \frac{a + c}{2} +\]
\[+ \left( \frac{a + c}{2} \right)^{2} = a^{2} + \frac{a^{2} + ac}{2} +\]
\[+ \frac{a^{2} + 2ac + c^{2}}{4} =\]
\[= \frac{4a^{2} + 2a^{2} + 2ac + a^{2} + 2ac + c^{2}}{4} =\]
\[= \frac{7a^{2} + 4ac + c^{2}}{4}\]
\[a^{2} + ac + c^{2} =\]
\[= \frac{\left( a^{2} + ab + b^{2} \right) + \left( b^{2} + bc + c^{2} \right)}{2} =\]
\[= \frac{7a^{2} + 4ac + c^{2} + 7c^{2} + 4ac + a^{2}}{8} =\]
\[= \frac{8a^{2} + 8c^{2} + 8ac}{8} =\]
\[= a^{2} + c^{2} + ac.\]
\[Значит,\ a^{2} + ab + b^{2},\ \ \]
\[a^{2} + ac + c^{2},\ \ \]
\[b^{2} + bc + c^{2} - члены\]
\[арифметической\ прогрессии.\]