Решебник по алгебре 9 класс Мерзляк Задание 509

\[\boxed{\mathbf{509\ (509).\ }Еуроки\ - \ ДЗ\ без\ мороки}\]

\[Пусть\ x\ \frac{дет}{ч} -\]

\[производительность\ ученика,\ \]

\[тогда\ 2x\ \frac{дет}{ч} -\]

\[производительность\ токаря.\ \]

\[Значит,\ \frac{35}{x}\ ч - время,\ за\ \]

\[которое\ ученик\]

\[изготовил\ 35\ деталей.\ По\ \]

\[условию\ известно,\ что\ 30\ \]

\[деталей\ токарь\ сделал\ \]

\[с\ обычной\]

\[\ производительностью,\ затем\]

\[\ изготавливал\ 60\ деталей,\ \]

\[увеличив\]

\[производительность,\ и\ \]

\[закончил\ работу\ не\ менее,\ \]

\[чем\ на\ 1\ час,\ позже\]

\[ученика.\ Получаем\ \]

\[неравенство:\frac{30}{2x} +\]

\[+ \frac{60}{2x + 2} \geq 1 + \frac{35}{x}.\]

\[Если\ бы\ токарь\ 30\ деталей\ \]

\[делал\ с\ такой\ же\ \]

\[производительностью,\ как\ и\]

\[60\ деталей,\ то\ закончил\ бы\ \]

\[работу\ не\ ранее,\ чем\ через\]

\[\ 0,5\ ч\ после\ ученика.\]

\[Получаем\ неравенство:\]

\[\frac{90}{2x + 2} \geq \frac{1}{2} + \frac{35}{x}.\]

\[Составляем\ систему\ \]

\[неравенств:\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{30}{2x} + \frac{60}{2x + 2} \geq 1 + \frac{35}{x} \\ \frac{90}{2x + 2} \geq \frac{1}{2} + \frac{35}{x}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\frac{15}{x} + \frac{30}{x + 1} - \frac{35}{x} - 1 \geq 0\]

\[- \frac{20}{x} + \frac{30}{x + 1} - 1 \geq 0\]

\[\frac{- 20 \cdot (x + 1) + 30x - x(x + 1)}{x(x + 1)} \geq 0\]

\[30x - 20x - 20 - x^{2} - x \geq 0\]

\[x² - 9x + 20 \leq 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 9,\ \ x_{1} = 4\]

\[x_{1}x_{2} = 20,\ \ x_{2} = 5\]

\[\frac{90}{2 \cdot (x + 1)} - \frac{35}{x} - \frac{1}{2} \geq 0\]

\[\frac{45}{x + 1} - \frac{35}{x} - \frac{1}{2} \geq 0\]

\[\frac{90x - 35 \cdot 2 \cdot (x + 1) - x(x + 1)}{2x(x + 1)} \geq 0\]

\[90x - 70x - 70 - x^{2} - x \geq 0\]

\[x^{2} - 19x + 70 \leq 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 19,\ \ x_{1} = 5\]

\[x_{1}x_{2} = 70,\ \ x_{2} = 14\]

\[x = 5\ \left( \frac{дет}{ч} \right) -\]

\[производительность\ ученика.\]

\[Ответ:5\ деталей.\]