Решебник по алгебре 9 класс Мерзляк Задание 27

\[\boxed{\text{27\ (27).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2\]

\[\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} - 2^{\backslash\text{√}\ a^{2} + 1} \geq 0\]

\[\frac{a^{2} + 2 - 2\sqrt{a^{2} + 1}}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 0;\ \ \]

\[\sqrt{a^{2} + 1} - всегда\ \]

\[положительно.\]

\[a^{2} + 2 - 2\sqrt{a^{2} + 1} \geq 0.\]

\[Пусть\ a^{2} + 2 - 2\sqrt{a^{2} + 1} = 0.\]

\[a^{2} + 2 = 2\sqrt{a^{2} + 1}\]

\[\left( a^{2} + 2 \right)^{2} = 4(a^{2} + 1)\]

\[a^{4} + 4a^{2} + 4 - 4a^{2} - 4 = 0\]

\[a^{4} = 0,\ \ \ a^{4} - \ всегда\ \]

\[положительное\ число.\]

\[Следовательно:\ \ \ \]

\[\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} - 2 \geq 0\ \ \]

\[\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2\]

\[при\ всех\ значениях\ a.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]