Решебник по алгебре 9 класс Рурукин контрольные работы КР-4. Уравнения и неравенства с двумя переменными Вариант 5

Условие:

1. Решите систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} - y^{2} = 4(x + y) \\ \frac{1}{5x - 4y} = \frac{1}{9}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

2. Найдите решение системы уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} 4\sqrt{\frac{x}{y}} + 2\sqrt{\frac{y}{x}} = 9\ \ \ \\ 7\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 48 \\ \end{matrix} \right.\ \]

3. Найдите все пары (x; y) целых чисел x и y, являющихся решениями системы уравнений.

\[\left\{ \begin{matrix} x = \frac{6y - 23}{y - 4}\text{\ \ } \\ x^{2} + y^{2} = 34 \\ \end{matrix} \right.\ \]

4. Если велосипедист увеличит скорость на 9 км/ч, то получит выигрыш по времени 27 мин при прохождении некоторого пути. Если же он уменьшит скорость на 5 км/ч, то потеряет 29 мин на том же пути. Найдите скорость велосипедиста и длину пути.

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений уравнения |y²-x²|=y-x.

6. На координатной плоскости изобразите множество решений неравенства

|2x+y-2|<=1.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} - y^{2} = 4(x + y) \\ \frac{1}{5x - 4y} = \frac{1}{9}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} (x + y)(x - y - 4) = 0 \\ 5x - 4y = 9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[1)\left\{ \begin{matrix} x + y = 0\ \ \ \ \ \\ 5x - 4y = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \ \]

\[x = - y:\]

\[- 5y - 4y = - 9\]

\[- 9y = - 9\]

\[y = 1.\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 1\ \ \\ x = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} x - y = 4\ \ \ \ \ \\ 5x - 4y = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x = 4 + y\]

\[5(4 + y) - 4y = 9\]

\[20 + 5y - 4y = 9\]

\[y = - 11;\]

\[x = 4 - 11 = - 7.\]

\[Ответ:( - 1;1);( - 7;\ - 11).\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} 4\sqrt{\frac{x}{y}} + 2\sqrt{\frac{y}{x}} = 9\ \ \ \\ 7\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 48 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Пусть\ t = \sqrt{\frac{x}{y}}:\]

\[4t + \frac{2}{t} = 9\]

\[4t^{2} - 9t + 2 = 0\]

\[D = 81 - 32 = 49\]

\[t_{1} = \frac{9 + 7}{8} = 2;\ \ t_{2} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{1}{4}.\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{\frac{x}{y}} = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 7\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 48 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} = 2\sqrt{y}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ 7\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 48 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[7 \cdot 2\sqrt{y} + 2\sqrt{y} = 48\]

\[14\sqrt{y} + 2\sqrt{y} = 48\]

\[16\sqrt{y} = 48\]

\[\sqrt{y} = 3 \Longrightarrow y = 9.\]

\[\sqrt{x} = 2 \cdot 3 = 6 \Longrightarrow x = 36.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{4}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ 7\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 48 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} = \frac{1}{4}\sqrt{y}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ 7\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 48 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[7 \cdot \frac{1}{4}\sqrt{y} + 2\sqrt{y} = 48\]

\[\frac{7}{4}\sqrt{y} + 2\sqrt{y} = 48\]

\[\frac{15}{4}\sqrt{y} = 48\]

\[\sqrt{y} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\ \Longrightarrow y = \frac{16}{25}.\]

\[\sqrt{x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \Longrightarrow x = \frac{1}{25}.\]

\[Ответ:(36;9);\left( \frac{1}{25};\frac{16}{25} \right).\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = \frac{6y - 23}{y - 4}\text{\ \ } \\ x^{2} + y^{2} = 34 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x = \frac{6y - 24 + 1}{y - 4} = 6 + \frac{1}{y - 4}\]

\[y - 4 = 1:\]

\[y = 5 \Longrightarrow x = 7;\]

\[y - 4 = - 1:\]

\[y = 3 \Longrightarrow x = 5.\]

\[Подставим\ во\ второе\ \]

\[уравнение:\]

\[1)\ (7;5):\]

\[49 + 25 \neq 34.\]

\[2)\ (5;3):\]

\[25 + 9 = 34.\]

\[Ответ:(5;3).\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x\ \frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[велосипедиста;\]

\[y\ км - длина\ пути.\]

\[Составим\ систему\ неравенств:\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{y}{x} - \frac{y}{x + 9} = \frac{27}{60} \\ \frac{y}{x - 5} - \frac{y}{x} = \frac{29}{60}\ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 9 \cdot 60y = 27x(x + 9) \\ 5 \cdot 60y = 29x(x - 5) \\ \end{matrix} \right.\ \ \ (\ :)\]

\[\frac{9}{5} = \frac{27(x + 9)}{29(x - 5)}\]

\[135(x + 9) = 261(x - 5)\]

\[135x + 1215 = 261x - 1305\]

\[126x = 2520\]

\[x = 20\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\ \]

\[велосипедиста.\]

\[y = \frac{x(x + 9)}{20} = \frac{20(20 + 9)}{20} =\]

\[= 29\ (км) - расстояние.\]

\[Ответ:29\ км\ и\ 20\ \frac{км}{ч}.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left| y^{2} - x^{2} \right| = y - x\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[|2x + y - 2| \leq 1\]