Решебник по алгебре 9 класс Рурукин контрольные работы КР-4. Уравнения и неравенства с двумя переменными Вариант 2

Условие:

1. Решите систему уравнений способом сложения.

\[\left\{ \begin{matrix} 4x - y = 9\ \ \ \ \\ 3x^{2} + y = 11 \\ \end{matrix} \right.\ \]

2. Решите систему уравнений способом подстановки.

\[\left\{ \begin{matrix} 3x + y = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x^{2} + y^{2} + xy = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]

3. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см².Найдите стороны прямоугольника.

4. Найдите двузначное число, которое в шесть раз больше суммы своих цифр.

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства (x+2)²+(y-1)²<=9. Вычислите площадь полученной фигуры.

6. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств. Найдите площадь полученной фигуры.

\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 36 \\ y \geq - x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} 4x - y = 9\ \ \ \ \\ 3x^{2} + y = 11 \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} 4x + 3x^{2} = 20 \\ y = 4x - 9\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[3x^{2} + 4x - 20 = 0\]

\[D = 4 + 60 = 64\]

\[x_{1} = \frac{- 2 + 8}{3} = \frac{6}{3} = 2;\]

\[y_{1} = 4 \cdot 2 - 9 = - 5;\]

\[x_{2} = \frac{- 2 - 8}{3} = - \frac{10}{3};\]

\[y_{2} = 4x - 9 = 4 \cdot \left( - \frac{10}{3} \right) - 9 =\]

\[= - \frac{40}{3} - 9 = - \frac{67}{3}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 2\ \ \ \\ y = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ и\ \ \ \ \left\{ \begin{matrix} x = - \frac{10}{3}\ \\ y = - \frac{67}{3}\ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(2;\ - 5);\left( - \frac{10}{3}; - \frac{67}{3} \right).\]

\(\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\)

\[\left\{ \begin{matrix} 3x + y = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x^{2} + y^{2} + xy = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 1 - 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x^{2} + (1 - 3x)^{2} + x(1 - 3x) = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x^{2} + 1 - 6x + 9x^{2} + x - 3x^{2} - 3 = 0\]

\[7x^{2} - 5x - 2 = 0\]

\[D = 25 + 56 = 81\]

\[x_{1} = \frac{5 + 9}{14} = 1;\]

\[y_{1} = 1 - 3 \cdot 1 = - 2;\]

\[x_{2} = \frac{5 - 9}{14} = - \frac{4}{14} = - \frac{2}{7};\]

\[y_{2} = 1 - 3 \cdot \left( - \frac{2}{7} \right) = 1 + \frac{6}{7} = 1\frac{6}{7};\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 1\ \ \ \\ y = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ и\ \ \ \ \left\{ \begin{matrix} x = - \frac{2}{7} \\ y = 1\frac{6}{7}\ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(1;\ - 2);\left( - \frac{2}{7};1\frac{6}{7} \right).\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ a\ и\ b - стороны\ \]

\[прямоугольника.\]

\[Периметр\ равен\ 26\ см;\]

\[площадь\ равна\ 42\ см^{2}.\]

\[Составим\ систему\ уравнения:\]

\[\left\{ \begin{matrix} 2(a + b) = 26 \\ ab = 42\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} a + b = 13 \\ ab = 42\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} a = 13 - b\ \ \ \ \ \ \ \\ (13 - b)b = 42 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[13b - b^{2} = 42\]

\[b^{2} - 13b + 42 = 0\]

\[D = 169 - 168 = 1\]

\[b_{1} = \frac{13 + 1}{2} = 7;\]

\[b_{2} = \frac{13 - 1}{2} = 6;\]

\[\left\{ \begin{matrix} b = 7 \\ a = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ или\ \ \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ a = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:\ \ 6\ см\ и\ 7\ см.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x - количество\ десятков;\]

\[y - количество\ единиц.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[10x + y = 6(x + y)\]

\[10x + y = 6x + 6y\]

\[10x - 6x = 6y - y\]

\[4x = 5y\]

\[x = 5 - десятки.\]

\[y = 4 - единицы.\]

\[Ответ:число\ 54.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 9\]

\[Круг\ с\ радиусом\ равным\ 3\ см.\]

\[S = \pi r^{2} = \pi \cdot 3^{2} = 9\pi.\]

\[Ответ:круг;9\pi.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 36 \\ y \geq - x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Полукруг\ с\ радиусом\ \]

\[равным\ 6\ см.\]

\[S = \frac{\pi r^{2}}{2} = \frac{\pi \cdot 6^{2}}{2} = \frac{36\pi}{2} = 18\pi.\]

\[Ответ:полукруг;18\pi.\]