Решебник по алгебре 9 класс Дорофеев контрольные работы КР-5. Арифметическая и геометрическая прогрессии Вариант 3

1. Последовательность задана формулой n-го члена: b_n=n*(n+2).

а) Запишите первые 3 члена этой последовательности; найдите b_50.

б) Является ли членом этой последовательности число 442?

2. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая — геометрической прогрессией:

(a_n): 1; 10; 100; ... ;

(у_n): 100; 200; 300; ... .

а) Продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие три её члена.

б) Найдите 10-й член геометрической прогрессии.

3. Андрей готовился к экзамену по геометрии. За 5 дней ему надо было выучить 30 билетов. Успел ли Андрей выучить все билеты, если в первый день он выучил 1 билет, а в каждый следующий день учил в 2 раза больше билетов, чем в предыдущий?

4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии:

-37,8; -35,1; ...?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел первой сотни, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

6. Между числами -1 и -81 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

7. На прополку первой грядки у Маши ушло 40 мин, а на прополку каждой следующей грядки — на 20% меньше времени, чем на прополку предыдущей. Запишите выражение для вычисления времени, которое затратила Маша на прополку шестой грядки.

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[b_{n} = n(n + 2)\]

\[\textbf{а)}\ b_{1} = 1 \cdot (1 + 2) = 3\]

\[b_{2} = 2 \cdot (2 + 2) = 8\]

\[b_{3} = 3 \cdot (2 + 3) = 15\]

\[b_{50} = 50 \cdot (50 + 2) = 2600\]

\[\textbf{б)}\ n(n + 2) = 442\]

\[n^{2} + 2n - 442 = 0\]

\[D_{1} = - 1 + 442 = 441 = 21^{2}\]

\[n_{1} = - 1 + 21 = 20;\]

\[n_{2} = - 1 - 21 = - 22 \notin N\]

\[Ответ:является.\ \]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[\left( a_{n} \right) - геометрическая\]

\[прогрессия;\ \ q = 10.\]

\[\left( b_{n} \right):100;200;300;400;500;600;\ldots\]

\[\left( b_{n} \right) - арифметическая\ \]

\[прогрессия;\ \ d = 100.\]

\[\textbf{б)}\ a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}\]

\[a_{1} = 1;q = 10:\]

\[a_{10} = 1 \cdot 10^{9} = 10^{9} =\]

\[= 1\ 000\ 000\ 000.\ \]

\[Ответ:a_{10} = 1\ 000\ 000\ 000.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[b_{1} = 1;\]

\[n = 5;\]

\[q = 2;\]

\[S_{5} \geq 30 - ?\]

\[S_{5} = \frac{b_{1}\left( q^{5} - 1 \right)}{q - 1} = \frac{1 \cdot \left( 2^{5} - 1 \right)}{2 - 1} =\]

\[= 32 - 1 = 31\ (билет) - он\ \]

\[сможет\ выучить\ за\ 5\ дней.\]

\[Ответ:да,\ успел.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[Арифметическая\ прогрессия:\]

\[- 37,8;\ - 35,1;\ldots\]

\[a_{1} = - 37,8;\]

\[d = - 35,1 - ( - 37,8) = 2,7;\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d\]

\[a_{1} + (n - 1) \cdot d < 0\]

\[- 37,8 + (n - 1) \cdot 2,7 < 0\]

\[(n - 1) \cdot 2,7 < 37,8\]

\[n - 1 < 14\]

\[n < 15\]

\[n = 14 - отрицательных\]

\[членов.\]

\[Ответ:14\ членов.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[Числа\ первой\ сотни - это\ \]

\[числа\ от\ 11\ до\ 100.\]

\[a_{1} = 11;\ a_{2} = 16;\ \ a_{n} = 96:\]

\[d = a_{2} - a_{1} = 16 - 11 = 5.\]

\[a_{n} = a_{1} + d(n - 1)\]

\[96 = 11 + 5 \cdot (n - 1)\]

\[85 = 5n - 5\]

\[5n = 90\]

\[n = 18\ (чисел) -\]

\[удовлетворяющих\ условию.\]

\[S_{16} = \frac{a_{1} + a_{16}}{2} \cdot 18 =\]

\[= (11 + 96) \cdot 9 = 107 \cdot 9 = 863.\]

\[Ответ:963.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[- 1;b_{2};b_{3};b_{4};\ - 81;\ldots\]

\[b_{1} = - 1;\ \ b_{2} = - 81:\]

\[b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}\]

\[- 81 = - q^{4}\]

\[q^{4} = 81\]

\[q = \pm 3.\]

\[b_{2} = \pm 3;\]

\[b_{3} = \pm 9;\]

\[b_{4} = \pm 27.\]

\[\left( b_{n} \right):\ - 1;3;\ - 9;27;\ - 81;\ldots\]

\[или\]

\[\left( b_{n} \right):\ - 1;\ - 3;\ - 9;\ - 27;\ - 81;\ldots\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[b_{1} = 40;\]

\[q = 1 - 0,2 = 0,8;\]

\[b_{6} = b_{1} \cdot q^{5}\]

\[b_{6} = 40 \cdot {0,8}^{5}.\]