Решебник по алгебре 9 класс Дорофеев контрольные работы КР-5. Арифметическая и геометрическая прогрессии Вариант 2

1. Последовательность задана формулой n-го члена: x_n=n*(n-1)

а) Запишите первые 3 члена этой последовательности; найдите x_200.

б) Является ли членом этой последовательности число 380?

2. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая — геометрической прогрессией:

(a_n): 1; 2; 4; ... ;

(b_n): -15; -12; -9; ... .

а) Продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие три её члена.

б) Найдите 20-й член арифметической прогрессии.

3. Турист в первый день прошёл 20 км, а в каждый следующий день он проходил на 2 км меньше, чем в предыдущий. Какое расстояние прошёл турист за 7 дней?

4. В геометрической прогрессии b_12=3^15 и b_14=3^17. Найдите b_1.

5. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы сумма превзошла 210?

6. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если ее 10-й член равен 64, а знаменатель равен 1/2.

7. Автомобильный завод каждые два года снижает цену на определённую марку автомобиля на 20% по сравнению с предыдущей ценой. В первый год выпуска новая модель стоила 400 000 р. Запишите выражение для вычисления цены этой модели через 10 лет.

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[x_{n} = n(n - 1)\]

\[\textbf{а)}\ x_{1} = 1 \cdot (1 - 1) = 0\]

\[x_{2} = 2 \cdot (2 - 1) = 2\]

\[x_{3} = 3 \cdot (3 - 1) = 6\]

\[x_{20} = 20 \cdot (20 - 1) =\]

\[= 20 \cdot 19 = 380\]

\[\textbf{б)}\ n(n - 1) = 380\]

\[n^{2} - n - 380 = 0\]

\[D = 1 + 1520 = 1521 = 39^{2}\]

\[n_{1} = \frac{1 + 39}{2} = 20;\]

\[n_{2} = \frac{1 - 39}{2} = - 19 \notin N.\]

\[Ответ:является.\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[\textbf{а)}\ \left( a_{n} \right):1;2;4;8;16;32;\ldots\]

\[\left( a_{n} \right) - геометрическая\ \]

\[прогрессия;q = 2.\]

\[\left( b_{n} \right):\ - 15; - 12; - 9;\ - 6;\ - 3;0.\]

\[\left( b_{n} \right) - арифметическая\]

\[прогрессия;d = 3.\]

\[\textbf{б)}\ b_{n} = b_{1} + (n - 1) \cdot d\]

\[b_{20} = - 15 + (20 - 1) \cdot 3 =\]

\[= - 15 + 19 \cdot 3 = - 15 + 57 =\]

\[= 42.\]

\[Ответ:b_{20} = 42.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[a_{1} = 20;\ d = - 2;\ n = 7:\]

\[S_{7} = \frac{2a_{1} + d(7 - 1)}{2} \cdot 7 =\]

\[= \frac{2 \cdot 20 - 2 \cdot 6}{2} \cdot 7 = 14 \cdot 7 =\]

\[= 98\ (км) - прошел\ турист\ \]

\[за\ 7\ дней.\]

\[Ответ:98\ км.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[b_{12} = 3^{15};\ \ b_{14} = 3^{17}:\]

\[b_{13} = 3^{16} \Longrightarrow q = 3.\]

\[b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\]

\[b_{1} = \frac{b_{n}}{q^{n - 1}}\]

\[b_{1} = \frac{b_{12}}{q^{11}} = \frac{3^{15}}{3^{11}} = 3^{4} = 81.\]

\[Ответ:b_{1} = 81.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[a_{1} = 1;\ \ d = 1:\]

\[S_{n} = \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \cdot n\]

\[\frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \cdot n > 210\]

\[\left( 2 + (n - 1) \right) \cdot n > 420\]

\[(n + 1) \cdot n > 420\]

\[n^{2} + n - 420 > 0\]

\[n_{1} + n_{2} = - 1;\ \ n_{1} \cdot n_{2} = - 420\]

\[n_{1} = 20;\ \ n_{2} = - 21\ \notin N.\]

\[n > 20\]

\[n = 21.\]

\[Ответ:21\ число.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[b_{10} = 64;\ \ q = \frac{1}{2}:\]

\[b_{10} = b_{1} \cdot q^{9}\]

\[b_{1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{9} = 64\]

\[b_{1} = 2^{6} \cdot 2^{9}\]

\[b_{1} = 2^{15}.\]

\[S_{6} = \frac{b_{1} \cdot \left( 1 - q^{6} \right)}{1 - q} =\]

\[= \frac{2^{15} \cdot \left( 1 - \frac{1}{64} \right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2^{15} \cdot \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} =\]

\[= \frac{2^{15} \cdot 2 \cdot 63}{2^{6}} = 2^{10} \cdot 63 =\]

\[= 1024 \cdot 63 = 64\ 512.\]

\[Ответ:64\ 512.\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[b_{1} = 400\ 000;\]

\[n = 10;\]

\[q = (1 - 0,2) = 0,8.\]

\[b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\]

\[b_{10} = 400\ 000 \cdot {0,8}^{9}.\]