Решебник по алгебре 9 класс Дорофеев контрольные работы КР-5. Арифметическая и геометрическая прогрессии Вариант 4

1. Последовательность задана формулой n-го члена: c_n=n*(n-2)

а) Запишите первые 3 члена этой последовательности; найдите c_100.

б) Является ли членом этой последовательности число 90?

2. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая — геометрической прогрессией:

(х_n): 100; 95; 90; …

(у_n): 1 000 000; 100 000; 10 000;…

а) Продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие три её члена.

б) Найдите 15-й член арифметической прогрессии.

3. Делая зарядку в первый день весенних каникул, Кирилл прыгнул через скакалку 20 раз. Каждый следующий день он делал в 2 раза больше прыжков, чем в предыдущий. Сколько всего прыжков сделал Кирилл за 5 дней весенних каникул?

4. В геометрической прогрессии b_8=2^-12 и b_10=2^-14. Найдите b_1.

5. 5 Между числами -9 и -2 вставьте три числа так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.

6. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, третий член которой равен 135, а шестой член равен 5.

7. На изготовление одной детали автомат затрачивает 100 мин. Планируется повышать производительность работы автомата ежемесячно на 5%. Запишите выражение для вычисления времени, которое будет затрачивать автомат на изготовление одной детали через 4 месяца.

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[c_{n} = n(n - 2)\]

\[\textbf{а)}\ c_{1} = 1 \cdot (1 - 2) = - 1\]

\[c_{2} = 2 \cdot (2 - 2) = 0\]

\[c_{3} = 3 \cdot (3 - 2) = 3\]

\[c_{100} = 100 \cdot (100 - 2) = 9800\]

\[\textbf{б)}\ n(n - 2) = 90\]

\[n^{2} - 2n - 90 = 0\]

\[D_{1} = 1 + 90 = 91\]

\[n_{1,2} = 1 \pm \sqrt{91} \notin N\]

\[Ответ:не\ является.\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[\textbf{а)}\ \left( x_{n} \right):100;95;90;85;80;75;\ldots\]

\[\left( x_{n} \right) - арифметическая\ \]

\[прогрессия;d = - 5.\]

\[\left( y_{n} \right) - геометрическая\ \]

\[прогрессия;q = \frac{1}{10}.\]

\[\textbf{б)}\ x_{1} = 100;\ \ d = - 5:\]

\[x_{15} = x_{1} + d(n - 1)\]

\[x_{15} = 100 - 5 \cdot (15 - 1)\]

\[x_{15} = 100 - 5 \cdot 14\]

\[x_{15} = 30.\]

\[Ответ:x_{15} = 30.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[b_{1} = 20;\]

\[q = 2;\]

\[n = 5.\]

\[S_{5} = \frac{b_{1}\left( q^{n} - 1 \right)}{q - 1} =\]

\[= \frac{20 \cdot \left( 2^{5} - 1 \right)}{2 - 1} = 20 \cdot 31 =\]

\[= 620\ (прыжков) - сделал\]

\[Кирилл\ за\ 5\ дней.\]

\[Ответ:620\ прыжков.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[b_{8} = 2^{- 12};b_{10} = 2^{- 14}:\]

\[b_{9} = 2^{- 13};q = 2^{- 1};\]

\[b_{8} = b_{1} \cdot q^{7}\]

\[b_{1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{7} = 2^{- 12}\]

\[b_{1} = 2^{- 12} \cdot 2^{7}\]

\[b_{1} = 2^{- 5}.\]

\[Ответ:b_{1} = 2^{- 5}.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[Арифметическая\ прогрессия:\]

\[- 9;a_{2};a_{3};a_{4};\ - 2;\ldots\]

\[a_{1} = - 9;\ \ a_{5} = - 2:\]

\[a_{5} = a_{1} + d(n - 1)\]

\[- 9 + d(5 - 1) = - 2\]

\[4d = 7\]

\[d = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}.\]

\[a_{2} = - 9 + 1\frac{3}{4} = - 7\frac{1}{4};\]

\[a_{3} = - 7\frac{1}{4} + 1\frac{3}{4} = - 6\frac{5}{4} + 1\frac{3}{4} =\]

\[= - 5\frac{2}{4} = - 5\frac{1}{2};\]

\[a_{4} = - 5\frac{2}{4} + 1\frac{3}{4} = - 4\frac{6}{4} + 1\frac{3}{4} =\]

\[= - 3\frac{3}{4}.\]

\[Получаем:\]

\[- 9;\ - 7\frac{1}{4};\ - 5\frac{1}{2};\ - 3\frac{3}{4};\ - 2;\ldots\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[b_{3} = 135;\ \ b_{6} = 5:\]

\[1)\ b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}\]

\[135 = b_{1} \cdot q^{2}\]

\[2)\ b_{6} = b_{1} \cdot q^{5}\]

\[5 = b_{1} \cdot q^{5}\]

\[3)\ \frac{135}{5} = \frac{b_{1} \cdot q^{2}}{b_{1} \cdot q^{5}}\]

\[27 = \frac{1}{q^{3}}\]

\[q^{3} = \frac{1}{3}.\]

\[4)\ 135 = b_{1} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{2}\]

\[b_{1} = 135 \cdot 3^{2} = 135 \cdot 9 = 1215.\]

\[S_{5} = \frac{b_{1} \cdot \left( 1 - q^{5} \right)}{1 - q} =\]

\[= \frac{1215 \cdot \left( 1 - \frac{1}{243} \right)}{1 - \frac{1}{3}} =\]

\[= \frac{1215 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{5 \cdot 242 \cdot 3}{2} =\]

\[= 15 \cdot 121 = 1815.\]

\[Ответ:1815.\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[b_{1} = 100;\]

\[q = 1 - 0,05 = 0,95;\]

\[n = 4.\]

\[b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}\]

\[b_{4} = 100 \cdot {0,95}^{3}.\]

## КР-6. Итоговая работа за первое полугодие