Решебник по алгебре 9 класс Дорофеев контрольные работы КР-5. Арифметическая и геометрическая прогрессии Вариант 1

1. Последовательность задана формулой n-го члена: a_n=n*(n+1)

а) Запишите первые 3 члена этой последовательности; найдите a_100.

б) Является ли членом этой последовательности число 132?

2. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая — геометрической прогрессией:

(х_n): 12; 8; 4; ... ;

(у_n): -32; -16; -8; ... .

а) Продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие три её члена.

б) Найдите 12-й член геометрической прогрессии.

3. Чтобы накопить денег на покупку велосипеда, Андрей в первую неделю отложил 100 р., а в каждую следующую откладывал на 50 р. больше, чем в предыдущую. Какая сумма будет у него через 10 недель?

4. Сколько положительных членов в арифметической прогрессии:

87,4; 82,8; ...?

5. Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 3.

6. Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна -40, знаменатель прогрессии равен -3. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

7. Семья Петровых взяла кредит в 25 000 р. на покупку телевизора. Процентная ставка кредита составляет 2% в месяц. Проценты ежемесячно начисляются на всю сумму долга, включая начисленный в предыдущий месяц процент. Петровы выплатили весь кредит единовременно через полгода. Запишите выражение для вычисления суммы, которую выплатили Петровы.

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[a_{n} = n(n + 1)\]

\[\textbf{а)}\ a_{1} = 1 \cdot (1 + 1) = 2\]

\[a_{2} = 2 \cdot (2 + 1) = 6\]

\[a_{3} = 3 \cdot (3 + 1) = 12\]

\[a_{100} = 100 \cdot (100 + 1) = 10\ 100\]

\[\textbf{б)}\ n(n + 1) = 132\]

\[n^{2} + n - 132 = 0\]

\[D = 1 + 528 = 529\]

\[n_{1} = \frac{- 1 + 23}{2} = 11;\]

\[n_{2} = \frac{- 1 - 23}{2} = - 12 \notin N.\]

\[Ответ:является.\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[\textbf{а)}\ \left( x_{n} \right):12;8;4;\ldots\]

\[a_{n} = a_{n - 1} + d\]

\[8 = 12 + d\]

\[d = - 4.\]

\[\left( x_{n} \right):12;8;4;0;\ - 4;\ - 8;\ldots\]

\[\left( y_{n} \right):\ - 32;\ - 16;\ - 8;\ldots\]

\[b_{n} = b_{n - 1} \cdot q\]

\[- 16 = - 32 \cdot q\]

\[q = \frac{1}{2}.\]

\[\left( y_{n} \right): - 32;\ - 16;\ - 8;\ - 4;\ - 2;\ - 1;\ldots\]

\[\textbf{б)}\ b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\]

\[b_{1} = - 32;\ \ \ q = \frac{1}{2}:\]

\[b_{12} = - 32 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{11} = - 2^{5} \cdot \frac{1}{2^{11}} =\]

\[= - \frac{1}{2^{6}} = - \frac{1}{64}.\]

\[Ответ:b_{12} = - \frac{1}{64}.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[a_{1} = 100;d = 50;n = 10:\]

\[S_{n} = \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \cdot n\]

\[S_{10} =\]

\[= \frac{2 \cdot 100 + 50 \cdot (10 - 1)}{2} \cdot 10 =\]

\[= (200 + 450) \cdot 5 = 650 \cdot 5 =\]

\[= 3250\ (рублей) - будет\ \]

\[через\ 10\ недель.\]

\[Ответ:3250\ рублей.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[Арифметическая\ прогрессия:\]

\[87,4;82,8;\ldots\]

\[d = 82,8 - 87,4 = - 4,6;\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d\]

\[a_{1} + (n - 1) \cdot d > 0\]

\[87,4 + (n - 1) \cdot ( - 4,6) > 0\]

\[(n - 1) \cdot ( - 4,6) > - 87,4\]

\[n - 1 < 87,4\ :4,6\]

\[n - 1 < 19\]

\[n < 20.\]

\[Ответ:20\ положительных\ \]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ членов.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[a_{1} = 12;\ \ a_{n} = 99;\ \ d = 3:\]

\[a_{n} = a_{1} + d(n - 1)\]

\[99 = 12 + 3 \cdot (n - 1)\]

\[12 + 3n - 3 = 99\]

\[3n = 99 - 9\]

\[3n = 90\]

\[n = 30 - двузначных\ чисел,\ \]

\[кратных\ 3.\]

\[S_{30} = \frac{a_{1} + a_{30}}{2} \cdot 30 =\]

\[= \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111 \cdot 30}{2} =\]

\[= \frac{3330}{2} = 1665.\]

\[Ответ:1665.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[S_{4} = - 40;\ \ q = - 3.\]

\[S_{4} = \frac{b_{1}\left( q^{4} - 1 \right)}{q - 1}\]

\[b_{1} = \frac{S_{4} \cdot (q - 1)}{q^{4} - 1} =\]

\[= \frac{- 40 \cdot ( - 3 - 1)}{81 - 1} = \frac{160}{80} = 2.\]

\[S_{8} = \frac{b_{1} \cdot \left( q^{8} - 1 \right)}{q - 1} =\]

\[= \frac{2 \cdot (6561 - 1)}{- 3 - 1} = \frac{2 \cdot 6560}{- 4} =\]

\[= \frac{6560}{- 2} = - 3280.\]

\[Ответ:\ - 3280.\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[b_{1} = 25\ 000;\]

\[q = (1 + 0,02) = 1,02;\]

\[n = 6.\]

\[b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\]

\[b_{6} = 25\ 000 \cdot {1,02}^{5}.\]