Решебник по алгебре 9 класс Мерзляк контрольные работы КР-3. Решение квадратных неравенств. Системы уравнений с двумя переменными Вариант 2

Условие:

1. Решите неравенство:

1) x^2+2x-3<0

2) 2x^2+6x≥0

3) x^2<9

4) x^2-8x+16>0

2. Решите систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} x + 3y = 5\ \ \ \\ 4y + xy = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \]

3. Найдите область определения функции:

1) y=√(3x-x²)

2) y=4/√(4-8x-5x^2 )

4. Решите графически систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} y = x^{2} + 2x \\ y - x = 2\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

5. Из двух городов, расстояние между которыми равно 25 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 1 ч после начала движения. Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них проезжает 30 км на 1 ч быстрее другого.

6. Решите систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} 4x^{2} + 4xy + y^{2} = 25 \\ 2x - y = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{2} + 2x - 3 < 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 2;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 3\]

\[x_{1} = - 3;\ \ x_{2} = 1\]

\[(x + 3)(x - 1) < 0\]

\[x \in ( - 3;1).\]

\[2)\ 2x^{2} + 6x \geq 0\]

\[2x(x + 3) \geq 0\]

\[x \in ( - \infty; - 3\rbrack \cup \lbrack 0; + \infty).\]

\[3)\ x^{2} < 9\]

\[x^{2} - 9 < 0\]

\[(x + 3)(x - 3) < 0\]

\[x \in ( - 3;3).\]

\[4)\ x^{2} - 8x + 16 > 0\]

\[(x - 4)^{2} > 0\]

\[x \in ( - \infty;\ 4) \cup (4; + \infty).\]

\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x + 3y = 5\ \ \ \\ 4y + xy = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 5 - 3y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 4y + y(5 - 3y) = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[4y + 5y - 3y^{2} - 6 = 0\]

\[- 3y^{2} + 9y - 6 = 0\ \ \ \ |\ :( - 3)\]

\[y^{2} - 3y + 2 = 0\]

\[y_{1} + y_{2} = 3;\ \ \ y_{1} \cdot y_{2} = 2\]

\[y_{1} = 2;\ \ \ y_{2} = 1\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 2\ \ \ \\ x = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:( - 1;2);\ \ (2;1).\]

\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ y = \sqrt{3x - x²}\]

\[3x - x^{2} \geq 0\]

\[x^{2} - 3x \leq 0\]

\[x(x - 3) \leq 0\]

\[D(y) = \lbrack 0;3\rbrack.\]

\[2)\ y = \frac{4}{\sqrt{4 - 8x - 5x^{2}}}\]

\[4 - 8x - 5x^{2} > 0\]

\[5x^{2} + 8x - 4 < 0\]

\[D = 16 + 20 = 36\]

\[x_{1} = \frac{- 4 + 6}{5} = \frac{2}{5} = 0,4;\]

\[x_{2} = \frac{- 4 - 6}{5} = - \frac{10}{5} = - 2\]

\[5(x + 2)(x - 0,4) < 0\]

\[D(y) = ( - 2;0,4).\]

\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = x^{2} + 2x \\ y - x = 2\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} y = x^{2} + 2x \\ y = x + 2\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x = - 2;\ \ x = 1.\]

\[Ответ:( - 2;0);\ \ (1;3).\]

\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - скорость\ \ \]

\[одного\ велосипедиста;\]

\[\text{y\ }\frac{км}{ч} - скорость\ другого.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} x + y = 25\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{30}{x} - \frac{30}{y} = 1\ \ \ | \cdot xy \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 25 - y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 30y - 30x = xy \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 25 - y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 30y - 30(25 - y) = y(25 - y) \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[30y - 750 + 30y = 25y - y²\]

\[y^{2} + 60y - 25y - 750 = 0\]

\[y^{2} + 35y - 750 = 0\]

\[D = 1225 + 3000 = 4\ 225 = 65^{2}\]

\[y_{1} = \frac{- 35 + 65}{2} = \frac{30}{2} = 15;\]

\[y_{2} = \frac{- 35 - 65}{2} =\]

\[= - \frac{100}{2} < 0\ (не\ подходит)\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x = 25 - 15 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 15 \\ x = 10 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:\ 10\ \frac{км}{ч}\ и\ 15\ \frac{км}{ч}\text{.\ }\]

\[\boxed{\mathbf{6.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} 4x^{2} + 4xy + y^{2} = 25 \\ 2x - y = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3\ \ \ \ \ \ \ \\ (2x + y)^{2} = 25 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (2x + 2x - 3)^{2} = 25 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3\ \ \ \ \ \ \ \\ (4x - 3)^{2} = 25 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[4x - 3 = 5\ \ \ \ \ \text{\ \ }4x - 3 = - 5\]

\[4x = 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{\ \ }\ \ \ \ 4x = - 2\]

\[x = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{\ \ }\ \ x = - 0,5\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }\ \ и\text{\ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = - 0,5 \\ y = - 4\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(2;1);\ \ ( - 0,5;\ - 4).\]