Решебник по алгебре 9 класс Мерзляк контрольные работы КР-3. Решение квадратных неравенств. Системы уравнений с двумя переменными Вариант 1

Условие:

1. Решите неравенство:

1) x^2-4x-5>0

2) 3x^2-12x≤0

3) x^2>16

4) x^2-4x+4≤0

2. Решите систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} x - 5y = 3\ \ \ \ \ \\ xy + 3y = 11 \\ \end{matrix} \right.\ \]

3. Найдите область определения функции:

1) y=√(5x-x^2 )

2) y=6/√(8+10x-3x^2 )

4. Решите графически систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} y = x^{2} - 6x \\ x - y = 6\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

5. Расстояние между двумя сёлами, равное 6 км, велосипедист проезжает на 1 ч быстрее, чем проходит это расстояние пешеход. Найдите скорость каждого из них, если за 2 ч пешеход проходит на 4 км меньше, чем велосипедист проезжает за 1 ч.

6. Решите систему уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} + 12xy + 36y^{2} = 16 \\ x - 6y = - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{2} - 4x - 5 > 0\]

\[x^{2} - 4x - 5 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 4;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 5\]

\[x_{1} = 5;\ \ x_{2} = - 1.\]

\[(x + 1)(x - 5) > 0\]

\[x \in ( - \infty; - 1) \cup (5; + \infty).\]

\[2)\ 3x^{2} - 12x \leq 0\]

\[3x(x - 4) \leq 0\]

\[x \in ( - \infty;4\rbrack.\]

\[3)\ x^{2} > 16\]

\[x^{2} - 16 > 0\]

\[(x + 4)(x - 4) > 0\]

\[x \in ( - \infty; - 4) \cup (4; + \infty).\]

\[4)\ x^{2} - 4x + 4 \leq 0\]

\[(x - 2)^{2} \leq 0\]

\[x = 2.\]

\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x - 5y = 3\ \ \ \ \ \\ xy + 3y = 11 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 5y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (3 + 5y)y + 3y = 11 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[3y + 5y^{2} + 3y - 11 = 0\]

\[5y^{2} + 6y - 11 = 0\]

\[D = 9 + 55 = 64\]

\[y_{1} = \frac{- 3 + 8}{5} = 1;\ \ \]

\[y_{2} = \frac{- 3 - 8}{5} = - \frac{11}{5} = - 2,2\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = - 2,2 \\ x = - 8\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:(8;1);( - 8;\ - 2,2).\]

\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ y = \sqrt{5x - x^{2}}\]

\[5x - x^{2} \geq 0\]

\[x^{2} - 5x \leq 0\]

\[x(x - 5) \leq 0\]

\[D(y) = \lbrack 0;5\rbrack.\]

\[2)\ y = \frac{6}{\sqrt{8 + 10x - 3x^{2}}}\]

\[8 + 10x - 3x^{2} > 0\]

\[3x^{2} - 10x - 8 < 0\]

\[D = 25 + 24 = 49\]

\[x_{1} = \frac{5 + 7}{3} = 4;\ \ \]

\[x_{2} = \frac{5 - 7}{3} = - \frac{2}{3}\]

\[3\left( x + \frac{2}{3} \right)(x - 4) < 0\]

\[D(y) = \left( - \frac{2}{3};4 \right).\]

\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = x^{2} - 6x \\ x - y = 6\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = x^{2} - 6x \\ y = x - 6\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x = 6;\ \ x = 1.\]

\[Ответ:(1;\ - 5);(6;0).\]

\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[велосипедиста;\]

\[\text{y\ }\frac{км}{ч} - скорость\ пешехода.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{6}{y} - \frac{6}{x} = 1\ \ \ | \cdot xy \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 2y\ \ \ \ \ \\ 6x - 6y = xy \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 2y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 6(4 + 2y) - 6y = (4 + 2y)y \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[24 + 12y - 6y = 4y + 2y^{2}\]

\[2y^{2} + 4y - 6y - 24 = 0\]

\[2y^{2} - 2y - 24 = 0\ \ \ \ |\ :2\]

\[y^{2} - y - 12 = 0\]

\[y_{1} + y_{2} = 1;\ \ \ y_{1} \cdot y_{2} = - 12\]

\[y_{1} = 4;\ \ y_{2} = - 3\ (не\ подходит)\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 4\ \ \\ x = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:\]

\[4\ \frac{км}{ч}\ скорость\ пешехода;\]

\[12\ \frac{км}{ч}\ скорость\ \]

\[велосипедиста.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} x^{2} + 12xy + 36y^{2} = 16 \\ x - 6y = - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 6y - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \\ (x + 6y)^{2} = 16 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 6y - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (6y - 8 + 6y)^{2} = 16 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 6y - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (12y - 8)^{2} = 16 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[(12y - 8)^{2} = 16\]

\[12y - 8 = 4\ \ \ \ \ \ \ \ 12y - 8 = - 4\]

\[12y = 12\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12y = 4\]

\[y = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = \frac{1}{3}\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = 1\ \ \ \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = \frac{1}{3}\text{\ \ \ } \\ x = - 6 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:( - 2;1);\ \ \left( - 6;\frac{1}{3} \right).\]