Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 990

 

\[\boxed{\text{990\ (990).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

аⁿ (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81.

Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

При решении используем следующие правила:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\bullet}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m + n}}\mathbf{.}\]

2. При возведении степени в степень (степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81) показатели перемножаются, а основание остается прежним:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{.}\]

3. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\ :\ }\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\mathbf{a}^{\mathbf{m - n}}\mathbf{.}\]

4. Любое число в нулевой степени равно единице.

Решение.

\[\textbf{а)}\ 27 \cdot 3^{- 4} = 3³ \cdot 3^{- 4} =\]

\[= 3^{3 + ( - 4)} = 3^{3 - 4} = 3^{- 1} = \frac{1}{3}\]

\[\textbf{б)}\ \left( 3^{- 1} \right)^{5} \cdot 81² = 3^{- 1 \cdot 5} \cdot \left( 3^{4} \right)^{2} =\]

\[= 3^{- 5} \cdot 3^{8} = 3^{- 5 + 8} = 3³ = 27\]

\[\textbf{в)}9^{- 2}\ :3^{- 6} = \left( 3^{2} \right)^{- 2}\ :3^{- 6} =\]

\[= 3^{- 4}\ :3^{- 6} = 3^{- 4 - ( - 6)} = 3² = 9\]

\[\textbf{г)}\ 81³\ :\left( 9^{- 2} \right)^{- 3} =\]

\[= \left( 3^{4} \right)^{3}\ :\left( 3^{2} \right)^{6} =\]

\[= 3^{12}\ :3^{12}{= 3}^{12 - 12} = 3^{0} = 1\]

\[\boxed{\text{990.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 3}{3} < 2 \\ \frac{13x - 1}{2} > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} \frac{3 \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 3)}{6} < 2 \\ 13x - 1 > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 3x - 3 - 2x + 6 < 12 \\ 13x > 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x < 9\ \ \ \\ x > \frac{1}{13} \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \ \left( \frac{1}{13};9 \right)\]

\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{3x + 1}{2} < - 1 \\ \frac{x}{2} - 1 < x\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 3x + 2 < - 2 \\ \frac{x - 2}{2} < x\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} 3x < - 3\ \ \ \ \ \\ x - 2 < 2x \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < - 1 \\ x > - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \ \ ( - 2;\ - 1)\]

\[\textbf{в)}\ \left\{ \begin{matrix} 4 - \frac{y - 1}{3} \geq y \\ \frac{7y - 1}{8} \geq 6\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} \frac{12 - y + 1}{3} \geq y \\ 7y - 1 \geq 48\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} 13 - y \geq 3y \\ 7y \geq 49\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 4y \leq 13 \\ y \geq 7\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} y \leq \frac{13}{4} \leq 3,25 \\ y \geq 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \ \ \varnothing\]

\[\textbf{г)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{5a + 8}{3} - a \geq 2a \\ 1 - \frac{6 - 15a}{4} \geq a \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} \frac{5a + 8 - 3a}{3} \geq 2a \\ \frac{4 - 6 + 15a}{4} \geq a\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} 2a + 8 \geq 6a\ \ \ \ \ \ \\ - 2 + 15a \geq 4a \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 4a \leq 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ - 11a \leq - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} a \leq 2\ \ \ \\ a \geq \frac{2}{11} \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \ \ \left\lbrack \frac{2}{11};2 \right\rbrack\]