Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 924

 

\[\boxed{\text{924\ (924).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Чтобы найти площадь квадрата, нужно его сторону умножить саму на себя:

\[\mathbf{S = a \bullet a =}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину:

\[\mathbf{S =}\mathbf{a \bullet b.}\]

Периметр прямоугольника – это сумма длины и ширины, умноженная на 2:

\[\mathbf{P = a + a + b + b = 2 \bullet (a + b).}\]

Периметр квадрата – это сумма длин всех его сторон:

\[\mathbf{P = a + a + a + a = 4 \bullet a.}\]

При решении используем следующее:

1. Свойства уравнений:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Формулу квадрата суммы:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

3. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

4. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

5. Если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

6. Положительное или отрицательное число (со знаком «минус») во второй степени (квадрате) всегда будет числом положительным или 0:

\[\mathbf{( -}\mathbf{2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4;}\]

\[\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4.}\]

Решение.

\[S_{пр} = a_{пр} \cdot b_{пр},\ \ S_{кв} = a_{кв}^{2}\]

\[при\ P_{пр} = P_{кв},\ \ то\ есть:\]

\[2 \cdot (a + b) = 4a\ \ \ |\ \ :4\]

\[a_{кв} = \frac{a_{пр} + b_{пр}}{2}\]

\[S_{кв} = a_{кв}^{2} = \left( \frac{a_{пр} + b_{пр}}{2} \right)^{2} =\]

\[= \frac{a_{пр}² + {2 \cdot a}_{пр}b_{пр} + b_{пр}²\ }{4}\]

\[S_{пр} = a_{пр} \cdot b_{пр}\]

\[Допустим:\]

\[S_{кв} > S_{пр}\]

\[\frac{a_{пр}^{2} + {2 \cdot a}_{пр}b_{пр} + b_{пр}^{2}}{4} >\]

\[> a_{пр}b_{пр}\ \ \ | \cdot 4\]

\[a_{пр}^{2} + {2 \cdot a}_{пр}b_{пр} + b_{пр}^{2} >\]

\[> 4 \cdot a_{пр}b_{пр}\]

\[a_{пр}^{2} - {2 \cdot a}_{пр}b_{пр} + b_{пр}^{2} > 0\]

\[\left( a_{пр} - b_{пр} \right)^{2} > 0 - верное\ \]

\[неравенство \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow S_{кв} > S_{пр} - верно.\]

\[Ответ:\ S_{кв} > S_{пр}.\]

\[\boxed{\text{924.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[\textbf{а)}\ (1;8)\ и\ (5;10)\]

\[(5;8).\]

\[\textbf{б)}\ \lbrack - 4;4\rbrack\ \ и\ \ \lbrack - 6;6\rbrack\]

\[\ \lbrack - 4;4\rbrack.\]

\[\textbf{в)}\ (5;\ + \infty)\ и\ \ (7;\ + \infty)\]

\[(7;\ + \infty).\]

\[\textbf{г)}\ ( - \infty;10)\ и\ ( - \infty;6)\]

\[\ ( - \infty;6).\]