Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 892
Задание 892
\[\boxed{\text{892\ (892).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
Пояснение.
Знаки сравнения:
\(> \ - \ \)больше;
\(\mathbf{<} -\) меньше.
При решении используем следующее:
1. Если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Решение.
\[\textbf{а)} - 3 < 2x - 1 < 3\]
\[- 3 + 1 < 2x < 3 + 1\]
\[- 2 < 2x < 4\ \ \ |\ :2\]
\[- 1 < x < 2\]
\[( - 1;2)\]
\[\textbf{б)} - 12 < 5 - x < 17\]
\[5 - ( - 12) > x > 5 - 17\]
\[17 > x > - 12\]
\[- 12 < x < 17\]
\[( - 12;17)\]
\[\textbf{в)}\ 2 < 6 - 2y < 5\]
\[2 - 6 < - 2y < 5 - 6\]
\[- 4 < - 2y < - 1\ \ \ |\ :( - 2)\]
\[2 > y > 0,5\]
\[0,5 < y < 2\]
\[(0,5;2)\]
\[\textbf{г)} - 1 < 5y + 4 < 19\]
\[- 1 - 4 < 5y < 19 - 4\]
\[- 5 < 5y < 15\ \ \ \ \ |\ :5\]
\[- 1 < y < 3\]
\[( - 1;3)\ \]
\[\boxed{\text{892.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
\[a \geq 0,\ \ b \geq 0,\ \ c \geq 0\]
\[\textbf{а)}\ (a + b)(b + c)(a + c) \geq 8abc\]
\[Среднее\ арифметическое \geq\]
\[\geq среднее\ геометрическое.\]
\[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{\text{ab}},\ \ \frac{b + c}{2} \geq \sqrt{\text{bc}},\ \ \]
\[\frac{a + c}{2} \geq \sqrt{\text{ac}}\]
\[a + b \geq 2\sqrt{\text{ab}},\ \ b + c \geq 2\sqrt{\text{bc}},\]
\[\ \ a + c \geq 2\sqrt{\text{ac}}\]
\[Перемножим\ правые\ и\ левые\ \]
\[части\ неравенств\ между\ \]
\[собой:\]
\[(a + b)(b + c)(a + c) \geq\]
\[\geq 2\sqrt{\text{ab}} \cdot 2\sqrt{\text{bc}} \cdot 2\sqrt{\text{ac}}\]
\[(a + b)(b + c)(a + c) \geq\]
\[\geq 8abc \Longrightarrow ч.т.д.\]
\[\textbf{б)}\ \frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq abc\]
\[Среднее\ арифметическое \geq\]
\[\geq среднее\ геометрическое.\]
\[\frac{a + 1}{2} = \sqrt{a \cdot 1},\ \ \]
\[\frac{b + 1}{2} = \sqrt{b \cdot 1},\ \ \]
\[\frac{a + c}{2} = \sqrt{\text{ac}},\ \ \frac{b + c}{2} = \sqrt{\text{bc}}\ \]
\[a + 1 = 2\sqrt{a},\ \ b + 1 = 2\sqrt{b},\]
\[\ \ a + c = 2\sqrt{\text{ac}},\]
\[\ \ b + c = 2\sqrt{\text{bc}}\]
\[(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \geq\]
\[\geq 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{\text{ac}} \cdot 2\sqrt{\text{bc}}\ \]
\[\ \ |\ :16\]
\[\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq\]
\[\geq abc \Longrightarrow ч.т.д.\]
\[Использованы\ свойства:\]
\[умножение\ и\ деление\ \]
\[неравенства\ на\]
\[положительное\ число\ и\ \]
\[умножение\ неравенств.\]
