Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 740

 

\[\boxed{\text{740\ (740).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(> \ - \ \)больше;

\(\mathbf{<} -\) меньше.

При решении используем следующее:

1. Формулу суммы кубов:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{- ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]

2. Способ группировки:

1) сгруппировать члены выражения так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;

\[\mathbf{ax + bx + 5}\mathbf{a + 5}\mathbf{b =}\left( \mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+ b}\mathbf{x} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{5}\mathbf{a +}\mathbf{5}\mathbf{b} \right)\]

2) в каждой группе вынести общий множитель за скобки;

\[\mathbf{x}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\]

3) образовавшийся общий для обеих групп множитель вынести за скобки.

\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{x + 5} \right)\mathbf{.}\]

3. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

4. Положительное или отрицательное число (со знаком «минус») во второй степени (квадрате) всегда будет числом положительным или 0:

\[\mathbf{( -}\mathbf{2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4;}\]

\[\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4.}\]

Решение.

\[a > 0,\ \ b > 0,\ \ a \neq b\]

\[Допустим\ \ a^{3} + b^{3} > ab(a + b)\]

\[a^{3} + b^{3} - ab(a + b) =\]

\[= (a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} - ab \right) =\]

\[= (a + b)\left( a^{2} - 2ab + b^{2} \right) =\]

\[= (a + b)(a - b)^{2} > 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow a^{3} + b^{3} > ab(a + b) -\]

\[верно.\]

\[\boxed{\text{740.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[(a - 1)x^{2} + 2ax + a + 1 = 0\]

\[1.\ при\ a = 1:\ \ \]

\[(1 - 1)x^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 1 + 1 = 0\]

\[0 \cdot x^{2} + 2x + 2 = 0\]

\[2x = - 2\]

\[x = - 1\]

\[2.\ при\ a \neq 1:\]

\[D = 4a^{2} - 4 \cdot (a - 1)(a + 1) =\]

\[= 4a^{2} - 4a^{2} + 4 = 4\]

\[x_{1,2} = \frac{- 2a \pm 2}{2 \cdot (a - 1)}\]

\[x_{1} = \frac{- 2 \cdot (a + 1)}{2 \cdot (a - 1)} = \frac{- 1 - a}{a - 1}\]

\[x_{2} = \frac{- 2 \cdot (a - 1)}{2 \cdot (a - 1)} = - 1\ \]