Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 739

 

\[\boxed{\text{739\ (739).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(\geq \ - \ \)больше или равно;

\(\leq \ - \ \)меньше или равно.

При решении используем следующее:

1. Чтобы возвести дробь в степень (степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81), необходимо возвести в эту степень числитель, а затем возвести в эту степень знаменатель дроби. Первый результат записать в числитель, а второй – в знаменатель.

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{b}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

2. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

3. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

4. Формулу квадрата суммы:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

5. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

6. Свойство квадратных корней:

\[\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{a}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= a;}\]

7. Любое отрицательное число меньше нуля.

Решение.

\[a \geq 0,\ \ b \geq 0\]

\[\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}\]

\[\left( \frac{a + b}{2} \right)^{2} - \left( \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \right)^{2} =\]

\[= \frac{(a + b)^{2}}{4} - \frac{a^{2} + b^{2}}{2} =\]

\[= \frac{2ab - a^{2} - b^{2}}{4} =\]

\[= \frac{- \left( a^{2} - 2ab + b^{2} \right)}{4} =\]

\[= \frac{- (a - b)²}{4} \leq 0 \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[\boxed{\text{739.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[x^{2} - ax + a - 3 = 0\]

\[по\ теореме\ Виета:x_{1} + x_{2} = a;\ \ \]

\[x_{1}x_{2} = a - 3\]

\[\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} = (a)^{2}\]

\[x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = a^{2}\]

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \cdot (a - 3) = a^{2}\]

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = a^{2} - 2a + 6 = a^{2} -\]

\[- 2a + 1 + 5 = (a - 1)^{2} + 5,\]

\[то\ есть\ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - принимает\ \]

\[наименьшее\ значение\ \]

\[при\ a = 1\]

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 6 =\]

\[= 1 - 2 + 6 = 5\]

\[Ответ:x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5\ при\ a = 1\text{.\ \ }\]