Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 619

 

\[\boxed{\text{619\ (619).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[Пусть\ \text{v\ }\frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[первого\ лыжника,\ тогда\]

\[(v + 2)\ \frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[второго\ лыжника.\ Известно,\ \]

\[что\ второй\ лыжник\ прошел\]

\[20\ мин = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}\ ч\ быстрее.\]

\[Составим\ уравнение:\ \ \]

\[\frac{20}{v} - \frac{20}{v + 2} = \frac{1}{3}\]

\[\frac{20v + 40 - 20v}{v(v + 2)} = \frac{1}{3}\]

\[3 \cdot 40 = v^{2} + 2v\]

\[v^{2} + 2v - 120 = 0\]

\[D = 4 + 480 = 484\]

\[v_{1,2} = \frac{- 2 \pm 22}{2} =\]

\[= 10;\ - 12 < 0 - не\ подходит\]

\[10\frac{км}{ч} - скорость\ одного\ \]

\[лыжника.\]

\[v_{1} = v_{2} + 2 = 10 + 2 =\]

\[= 12\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\ \]

\[другого\ лыжника.\]

\[Ответ:10\frac{км}{ч}\ и\ 12\frac{км}{ч}\text{.\ }\]

\[\boxed{\text{619.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

Пояснение.

Если \(x_{1}\ и\ x_{2}\) – корни квадратного трехчлена ax²+bx+c, то:

\[ax^{2} + bx + c = a\left( a - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right).\]

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.

Решение.

\[\textbf{а)}\ 2x^{2} + 12x - 14 =\]

\[= 2 \cdot \left( x^{2} + 6x - 7 \right) =\]

\[= 2 \cdot (x - 1)(x + 7)\]

\[x^{2} + 6x - 7 = 0\]

\[D_{1} = 3^{2} + 7 = 16\]

\[x_{1} = - 3 + 4 = 1;\]

\[x_{2} = - 3 - 4 = - 7.\]

\[\textbf{б)} - m^{2} + 5m - 6 =\]

\[= - (m - 3)(m - 2) =\]

\[= (3 - m)(m - 2)\]

\[- m^{2} + 5m - 6 = 0\]

\[m^{2} - 5m + 6 = 0\]

\[D = 5^{2} - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]

\[m_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3;\ \ \]

\[\ m_{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2.\]

\[\textbf{в)}\ 3x^{2} + 5x - 2 =\]

\[= 3 \cdot (x + 2)\left( x - \frac{1}{3} \right) =\]

\[= (x + 2)(3x - 1)\]

\[3x^{2} + 5x - 2 = 0\]

\[D = 5^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 =\]

\[= 49\]

\[x_{1} = \frac{- 5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};\ \ \]

\[\ x_{2} = \frac{- 5 - 7}{6} = - 2.\]

\[\textbf{г)}\ 6x^{2} - 13x + 6 =\]

\[= 6 \cdot \left( x - \frac{3}{2} \right)\left( x - \frac{2}{3} \right) =\]

\[= (2x - 3)(3x - 2)\ \]

\[6x^{2} - 13x + 6 = 0\]

\[D = 13^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 6 =\]

\[= 169 - 144 = 25\]

\[x_{1} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2};\ \ \]

\[\ x_{2} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.\]