Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 488

 

\[\boxed{\text{488\ (488).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[Пусть\ n = 2:\]

\[\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1} =\]

\[= \sqrt{2(2 + 1)(2 + 2)(2 + 3) + 1} =\]

\[= \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1} = \sqrt{120 + 1} =\]

\[= \sqrt{121} = 11 - натуральное\ \]

\[число.\]

\[Докажем:\]

\[\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1} =\]

\[= \sqrt{n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1} =\]

\[= \sqrt{\left( n^{2} + 3n \right)^{2} + 2\left( n^{2} + 3n \right) + 1} =\]

\[= \sqrt{\left( \left( n^{2} + 3n \right) + 1 \right)^{2}} =\]

\[= \left| n^{2} + 3n + 1 \right|\]

\[n^{2} + 3n + 1 > 0\ при\ любом\ \]

\[n \in N:\]

\[\left| n^{2} + 3n + 1 \right| = n^{2} + 3n + 1.\]

\[Так\ как\ n \in N,\ \ \ то\ каждое\ \]

\[слагаемое\ в\ сумме\ \ n^{2} + 3n + 1\ \]

\[будет\ натуральным\ числом.\]

\[Следовательно,\ сумма\ \]

\[натуральных\ чисел\ тоже\ будет\ \]

\[натуральным\ числом.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\text{488.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

Пояснение.

При всех допустимых значениях a верно равенство:

\[\left( \sqrt{a} \right)^{2} = a.\]

Формулы квадрата разности и квадрата суммы:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 2}\mathbf{ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a - b} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{;}\]

\[\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 2}\mathbf{ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ x - 4\sqrt{x - 1} + 3 =\]

\[= (x - 1) - 2 \cdot 2\sqrt{x - 1} + 4 =\]

\[= \left( \sqrt{x - 1} \right)^{2} - 2 \cdot 2\sqrt{x - 1} + 4 =\]

\[= \left( \sqrt{x - 1} - 2 \right)^{2}\]

\[\textbf{б)}\ y + 2\sqrt{y + 2} + 3 =\]

\[= (y + 2) + 2\sqrt{y + 2} + 1 =\]

\[= \left( \sqrt{y + 2} \right)^{2} + 2\sqrt{y + 2} + 1 =\]

\[= \left( \sqrt{y + 2} + 1 \right)^{2}\text{\ \ }\]